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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-size: 12px; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-size: 12px; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
  
 
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* 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형<br>볼록한 정다면체는 다음과 같이 다섯가지가 존재한다.<br>차례대로 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체<br>
 
* 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형<br>볼록한 정다면체는 다음과 같이 다섯가지가 존재한다.<br>차례대로 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체<br>
 
{| class="wikitable" style="color: black; background-color: rgb(249, 249, 249); margin: 1em 1em 1em 0px; border: 1px solid rgb(170, 170, 170); border-collapse: collapse;"
 
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* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]] 를 사용
 
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<h5 style="font-size: 12px;">군론을 통한 증명</h5>
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<h5 style="font-size: 12px;">플라톤과 정다면체</h5>
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<h5 style="font-size: 12px;">플라톤과 정다면체==
  
 
플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다.<br> 정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.
 
플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다.<br> 정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.
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<h5 style="font-size: 12px;">케플러와 정다면체</h5>
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<h5 style="font-size: 12px;">케플러와 정다면체==
  
 
케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다.<br> 먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.
 
케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다.<br> 먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.
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<h5 style="font-size: 12px;">재미있는 사실</h5>
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* 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함<br>
 
* 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함<br>
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<h5 style="font-size: 12px;">메모</h5>
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* http://virus.chem.ucla.edu/icosahedral_symmetry
 
* http://virus.chem.ucla.edu/icosahedral_symmetry
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<h5 style="font-size: 12px;">관련된 항목들</h5>
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* [[4063717|3차원 유한회전군의 분류]]
 
* [[4063717|3차원 유한회전군의 분류]]
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<h5 style="font-size: 12px;">관련도서 및 추천도서</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-size: 12px; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-size: 12px; background-position: 0px 100%;">수학용어번역==
  
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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<h5 style="font-size: 12px;">관련논문</h5>
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* [http://www.jstor.org/stable/1574735 Art and Mathematics: The Platonic Solids]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/1574735 Art and Mathematics: The Platonic Solids]<br>
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<h5 style="font-size: 12px;">관련기사</h5>
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* [http://news.khan.co.kr/section/khan_art_view.html?mode=view&artid=200706190930252&code=900314 [영재교육원 수학특강](24) 축구공의 비밀(4)]<br>
 
* [http://news.khan.co.kr/section/khan_art_view.html?mode=view&artid=200706190930252&code=900314 [영재교육원 수학특강](24) 축구공의 비밀(4)]<br>
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<h5 style="font-size: 12px;">이미지 검색</h5>
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<h5 style="font-size: 12px;">이미지 검색==
  
 
* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
 
* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
 
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2012년 11월 1일 (목) 13:59 판

이 항목의 스프링노트 원문주소==    
개요==
  • 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형
    볼록한 정다면체는 다음과 같이 다섯가지가 존재한다.
    차례대로 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체
Tetrahedron.svg Hexahedron.svg Octahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg Icosahedron.svg

오목한 정다면체는 다음과 같이 네가지가 존재한다.
차례대로 작은 별모양 정십이면체, 큰 별모양 정십이면체, 큰 정이십면체, 큰 정십이면체

SmallStellatedDodecahedron.jpg GreatStellatedDodecahedron.jpg GreatDodecahedron.jpg GreatIcosahedron.jpg
  • 다섯개의 볼록 정다면체
    • 정사면체
    • 정육면체
    • 정팔면체
    • 정십이면체
    • 정이십면체
다면체 그림 점 V 선 E 면 F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
정사면체 Tetrahedron 4 6 4 4-6+4=2 \(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\) \(4\times\pi=4\pi\)
정육면체 Hexahedron (cube) 8 12 6 8-12+6=2 \(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) \(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체 Octahedron 6 12 8 6-12+8=2 \(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) \(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체 Dodecahedron 20 30 12 20-30+12=2 \(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) \(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체 Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2 \(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)

 

  • 네개의 오목 정다면체
    • 작은 별모양 정십이면체
    • 큰 별모양 정십이면체
    • 큰 정십이면체
    • 큰 정이십면체
다면체 그림 점 V 선 E 면 F
작은 별모양 정십이면체 30 12 12
큰 별모양 정십이면체 30 20 12
큰 정십이면체 30 12 12
큰 정이십면체 30 12 20

 

정다면체의 분류==   (증명) 정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자. 꼭지점의 개수는 \(V = \frac{pF}{q}\) 변의 개수는 \(E = \frac{pF}{2}\) 여기서 \(n = qV = pF = 2E\) 로 두자. 오일러의 정리로부터, \(2pq\times (V-E+F) = 2pq\times 2\) \(2pn - pqn + 2qn= 4 pq\) \(2pn + 2qn= 4 pq + pqn\) 양변을 \(2pqn\) 으로 나누면, \(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}= \frac{2}{n} + \frac{1}{2}\) \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\) 부등식을 풀면, \(\{3, 3\}, \{4, 3\},\{3, 4\},\{5, 3\},\{3,5\}\) 다섯개의 해를 얻는다.■    
군론을 통한 증명==      
플라톤과 정다면체== 플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다.
정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.      
케플러와 정다면체== 케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다.
먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.    
재미있는 사실==  
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