"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이

2012년 9월 8일 (토) 18:57 판

참고자료

사전형태의 참고자료

수학용어번역

관련논문과 에세이

The Origins of the Genus Concept in Quadratic Forms
- Mark Beintema & Azar Khosravani, The Montana Mathematics Enthusiast
The development of the principal genus theorem
- Franz Lemmermeyer, ArXiv, 16 Jul 2002
On euler's partition of forms into generaA.A. Antropov
\(\Delta=b^2-4ac\), Introduction to integral binary quadratic forms
- J.P. Serre, Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields
- Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
On the Development of the Genus of Quadratic Forms (005-062.pdf)
- Günther Frei, Ann. Sci. Math. Québec 3 (1979), no 1, 5-62

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==참고자료==
-* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
-* <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식<br>
-*  자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작<br>
-** [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]]<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">기본용어</h5>
-*  판별식<br><math>\Delta=b^2-4ac</math><br>
-*  이차형식의 동치류<br>
-**  다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의<br><math>x \to x+y</math> , <math>y \to y</math><br><math>x \to x</math>, <math>y \to x+y</math><br> 행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 [[모듈라 군(modular group)]]을 생성함<br><math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
-**  즉 <math>f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)</math> 인 정수 <math>ad-bc= 1</math> 가 존재하면, <math>f\sim g</math> 이라 함<br>
-*  primitive 이차형식<br><math>a,b,c</math> 가 서로소인 이차형식 <math>ax^2+bxy+cy^2</math><br>
-<h5>중요한 문제들</h5>
-*  주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제<br>
-** 예) <math>x^2+ny^2</math> 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
-** 예) <math>x^2+ny^2</math> 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
-*  주어진 판별식<math>\Delta</math> 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제<br>
-** <math>\Delta=b^2-4ac</math>를 만족시키는 모든 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것<br>
-**  주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다<br>
-**  판별식이 <math>\Delta</math>인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 <math>h(\Delta)</math>를 <math>\Delta</math>에 대한 [[수체의 class number|class number]] 라 함<br>
-**  genus의 개념<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">기약형식</h5>
-*  주어진 이차형식이 있을때, <br>
-*  모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다<br><math>R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}</math><br> + 경계조건<br>
-*  기약 형식<br>
-**  양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름<br><math>|b|\leq a \leq c</math> and <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math><br>
-* <math>ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)</math>, <math>\mbox{Im}\, \tau >0</math> 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다<br><math>|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}</math><br><math>a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1</math><br> fundamental domain의 경계조건은 <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math> 로 옮겨짐<br>
-(정리)
-<math>\tau</math> (<math>\mbox{Im}\, \tau >0</math>) 에 대응되는 이차형식은 <math>x=aX+bY, y=cX+dY</math> (여기서 <math>a,b,c,d</math>는 정수이고 <math>ad-bc= 1</math>)에 의해 <math>\frac{a\tau+b}{c\tau+d}</math> 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">판별식이 작은 경우의 기약형식 예</h5>
-* 자세한 목록은 [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록|판별식이 작은 경우의 이차형식 리스트]] 항목 참조
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-3</math><br>
-** <math>x^2+xy+y^2</math>
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-4</math><br>
-** <math>x^2+y^2</math>
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-8</math><br>
-** <math>x^2+2y^2</math>
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-15</math><br>
-** <math>x^2+xy+4y^2</math>, <math>2x^2+xy+2y^2</math>
-** <math>h(\Delta)=2</math> 이 되는 첫번째 예
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-20</math><br>
-** <math>x^2+5y^2</math>, <math>2x^2+2xy+3y^2</math>
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-23</math><br>
-** <math>x^2+xy+6y^2</math>, <math>2x^2-xy+3y^2</math>, <math>2x^2+xy+3y^2</math>
-** <math>h(\Delta)=3</math> 이 되는 첫번째 예
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-40</math><br>
-** <math>x^2+10y^2</math>, <math>2x^2+5y^2</math>
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-163</math><br>
-** <math>x^2+xy+41y^2</math>
-** <math>h(\Delta)=1</math> 이 되는 가장 큰 예
-** [[오일러의 소수생성다항식 x²+x+41|오일러의 소수생성다항식 x² +x+41]] , [[숫자 163]] 참조
-* <math>\Delta=b^2-4ac=-240</math><br>
-** <math>x^2+58y^2</math>, <math>2x^2+29y^2</math>
-** 58에 대해서는 [[오일러의 convenient number ( Idoneal number)]] 항목 참조
-* 더 자세한 목록은 [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록|판별식이 작은 경우의 이차형식 리스트]] 항목 참조
-<h5>가우스의 class number one 문제</h5>
-*  기본판별식(fundamental discriminant)<br>
-** <math>\Delta=\Delta_0f^2</math> 의 형태로 쓸 수 없는 <math>\Delta</math> (<math>\Delta_0</math>는 적당한 판별식, <math>f</math>는 1보다 큰 정수)
-** [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론|이차 수체(quadratic number fields)]] 로부터 얻어지는 판별식임
-*  가우스의 문제<br>
-** 기본판별식 <math>\Delta<0</math> 에 대하여 <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163</math>
-*  일반적으로는 다음과 같음<br>
-** <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163</math>
-* [[가우스의 class number one 문제]] 항목에서 자세히 다룸
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">genus</h5>
-*  판별식이 <math>\Delta</math>인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 <math>(\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}</math>의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">이차형식과 이차 수체의 ideal 사이의 대응</h5>
-*  이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음<br>
-** 이차형식의 합성이란 <math>(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2</math>와 같은 공식의 일반화
-* <math>ax^2+bxy+cy^2</math>가 양의정부호 즉 <math>a>0</math>, <math>\Delta=b^2-4ac<0</math> 를 만족할 때, 대응되는 ideal은  <math>[2a, -b+\sqrt\Delta]</math>로 주어짐<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">memo</h5>
-* http://swc.math.arizona.edu/aws/09/index.html<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">많이 나오는 질문과 답변</h5>
-*  네이버 지식인<br>
-** [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%98%95%EC%8B%9D http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=이차형식]
-** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">사전형태의 참고자료</h5>
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 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
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 * [[오일러의 convenient number ( Idoneal number)|Idoneal number]]<br>
 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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 * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=definite
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문과 에세이</h5>
@@ 190번째 줄: / 41번째 줄: @@
 ** Franz Lemmermeyer, ArXiv, 16 Jul 2002
 * [http://dx.doi.org/10.1006/hmat.1995.1018 On euler's partition of forms into genera]A.A. Antropov
-* <math>\Delta=b^2-4ac</math>, [[1943100/attachments/871280|Introduction to integral binary quadratic forms]]<br>
+* <math>\Delta=b^2-4ac</math>, [[1943100/attachments/871280|Introduction to integral binary quadratic forms]]<br>
 ** J.P. Serre, Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
 * [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183552617 Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields]<br>
-** Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
+** Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
-*  On the Development of the Genus of Quadratic Forms ([[3989971/attachments/2444477|005-062.pdf]])<br>
+*  On the Development of the Genus of Quadratic Forms ([[3989971/attachments/2444477|005-062.pdf]])<br>
-** Günther Frei, Ann. Sci. Math. Québec 3 (1979), no 1, 5-62
+** Günther Frei, Ann. Sci. Math. Québec 3 (1979), no 1, 5-62

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