"정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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<h5>개요</h5>
  
 
* 정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
 
* 정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
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<h5>디리클레 정리와 상호법칙의 관계</h5>
 
<h5>디리클레 정리와 상호법칙의 관계</h5>
  
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* 상호법칙의 질문에 따라 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)|Cyclotomic 다원분다항식(cyclotomic polynomial)항식]]의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
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* 상호법칙의 질문에 따라 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
 
* 간단한 경우로 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 일차식들로 분해되는가의 문제를 생각할 수 있음.
 
* 간단한 경우로 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 일차식들로 분해되는가의 문제를 생각할 수 있음.
  
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(정리)
 
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<math>n | p-1</math> 이면, <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해됨
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<math>n | p-1</math> 이면, <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해된다
  
 
 
 
 
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(증명)
 
(증명)
  
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유한체 <math>\mathbb F_p</math> 의 원소중에서 방정식 <math>x^n=1</math> 을 만족시키는 원소의 개수는 <math>\phi(n)</math>과 같다. ([[오일러의 totient 함수]])
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유한체 <math>\mathbb F_p</math> 의 원소는 모두 방정식 <math>x^{p-1}=1</math> 을 만족시킨ㄷ
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 <math>x^n=1</math> 을 만족시키는 원소의 개수는 <math>\phi(n)</math>과 같다. ([[오일러의 totient 함수]])
  
 
이러한 원소들은  <math>\Phi_n(x)=0 \pmod p</math> 의 해가 되고, 또한 그 개수가 <math>\Phi_n(x)</math> 의 차수와 같다.
 
이러한 원소들은  <math>\Phi_n(x)=0 \pmod p</math> 의 해가 되고, 또한 그 개수가 <math>\Phi_n(x)</math> 의 차수와 같다.
  
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따라서  <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 일차식들로 분해됨을 알 수 있다. (증명끝)
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따라서  <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 일차식들로 분해됨을 알 수 있다. ■
  
 
 
 
 
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* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] 항목도 참조.
 
* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] 항목도 참조.
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2010년 1월 14일 (목) 07:36 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

 

개요
  • 정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
  • 이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
  • 하는 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 근본적인 질문들

 

 

이차잉여의 상호법칙
  • 정수 계수 이차 다항식 \(x^2-a\) 의 문제
  • \(x^2-a\pmod p\) 가 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
  • 자세한 사항은 이차잉여의 상호법칙 에서 다루기로 함.
  • 이차수체

 

 

디리클레 정리와 상호법칙의 관계
  • 상호법칙의 질문에 따라 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
  • 간단한 경우로 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 일차식들로 분해되는가의 문제를 생각할 수 있음.

 

(정리)

\(n | p-1\) 이면, \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다

 

(증명)

유한체 \(\mathbb F_p\) 의 원소는 모두 방정식 \(x^{p-1}=1\) 을 만족시킨ㄷ

 \(x^n=1\) 을 만족시키는 원소의 개수는 \(\phi(n)\)과 같다. (오일러의 totient 함수)

이러한 원소들은  \(\Phi_n(x)=0 \pmod p\) 의 해가 되고, 또한 그 개수가 \(\Phi_n(x)\) 의 차수와 같다.

따라서  \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 일차식들로 분해됨을 알 수 있다. ■

 

 \(n | p-1\) 이면, \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 \(\text{Frob}_p\) 가 체확장 \(\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)\)의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.

프로베니우스의 density 정리에 의하면, \(\text{Frob}_p\)가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 \(p\equiv 1 \pmod n\) 가 증명된다.

 

 

체보타레프 밀도 정리
  • 일반적인 수체

 

프로베니우스의 밀도 정리

 

 

원분체의 arithmetic
  • Kronecker-Weber theorem and Ray class field
  • 이차잉여의 상호법칙

디리클레 정리

 

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