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* 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
 
* 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
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* <math>z^4+z^3+z^2+z+1=0</math> 은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
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* 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
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* 양변을 <math>z^2</math>으로 나누면, <math>x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0</math> 을 얻게됨.
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* 양변을 <math>z^2</math>으로 나누면, <math>z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0</math> 을 얻게됨.
  
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'''<math>t=x+\frac{1}{x}</math>''' 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
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<math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
  
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<math>x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+1=(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1=t^2+t-1=0</math>
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<math>z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0</math>
  
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방정식을 풀어가면,
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방정식을 풀면,
  
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<math>t^2+t-1=0</math>
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<math>y^2+y-1=0</math>
  
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<math>t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}</math>
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<math>y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}</math>
  
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<math>t=x+\frac{1}{x}</math>
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<math>z^2-yz+1=0</math>
  
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<math>x^2-tx+1=0</math>
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<math>x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}</math>
 
<math>x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}</math>

2009년 4월 21일 (화) 09:28 판

간단한 소개
  • 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형
  • 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다.

 

 

정오각형과 황금비
  • '황금비' 항목을 먼저 참조
  • 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]

 

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

 

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다.

이는 각 DAC와 각 CAD가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문이다.

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해, 

AB : AD = BE : DE 즉 a : b = b-a : a 가 성립한다.

\(b^2 - ab - a^2 = 0\)

\((\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\)

 

 

황금삼각형

 

[/pages/3002548/attachments/1344270 317px-Golden_triangle_in_pentagon.svg.png]

 

  • 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.

 

 

정오각형의 작도

 

 

꼭지점의 평면좌표
  • 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
  • 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
  • 양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게됨.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\)

방정식을 풀면,

\(y^2+y-1=0\)

\(y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(z^2-yz+1=0\)

 

 

\(x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}\)

 을 얻게 됨. 

따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

  • x좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.

 

 

재미있는 사실

 

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