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* 생성원과 관계식<br><math>\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle</math><br> | * 생성원과 관계식<br><math>\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle</math><br> | ||
* [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)|콕세터군]] 으로서의 생성원과 관계식<br><math>\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle</math><br> | * [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)|콕세터군]] 으로서의 생성원과 관계식<br><math>\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle</math><br> | ||
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* 벡터 <math>(\cos (\theta ),\sin (\theta ))</math>를 법벡터로 갖는 직선에 대한 반사변환을 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다<br><math>s_{\theta}=\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)</math><br> | * 벡터 <math>(\cos (\theta ),\sin (\theta ))</math>를 법벡터로 갖는 직선에 대한 반사변환을 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다<br><math>s_{\theta}=\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)</math><br> | ||
* 두 반사 변환의 합성 <math>s_{\theta_1}s_{\theta_2}</math>은 다음과 같은 회전변환이 된다<br><math>\left( \begin{array}{cc} \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & -\sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \\ \sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \end{array} \right)</math><br> | * 두 반사 변환의 합성 <math>s_{\theta_1}s_{\theta_2}</math>은 다음과 같은 회전변환이 된다<br><math>\left( \begin{array}{cc} \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & -\sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \\ \sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \end{array} \right)</math><br> | ||
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| + | <h5>이면군의 기하학적 이해</h5> | ||
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| + | * 이면군 <math>D_n</math>은 정n각형의 자기동형군으로 이해할 수 있다 | ||
| + | * 다음 두 반사변환은 생성원이 된다<br><math>x=\left( \begin{array}{cc} -\cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)</math><br><math>y=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)</math><br> | ||
| + | * x와 y의 합성으로부터, 다음 회전변환을 얻는다<br><math>\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)</math><br> | ||
2012년 8월 5일 (일) 10:20 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 정n각형의 자기동형군
- 크기가 2n이며 이면군 \(D_n\)이라 부른다
- 생성원과 관계식
\(\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle\) - 콕세터군 으로서의 생성원과 관계식
\(\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle\)
반사 변환과 회전
- 벡터 \((\cos (\theta ),\sin (\theta ))\)를 법벡터로 갖는 직선에 대한 반사변환을 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다
\(s_{\theta}=\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\) - 두 반사 변환의 합성 \(s_{\theta_1}s_{\theta_2}\)은 다음과 같은 회전변환이 된다
\(\left( \begin{array}{cc} \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & -\sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \\ \sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \end{array} \right)\)
이면군의 기하학적 이해
- 이면군 \(D_n\)은 정n각형의 자기동형군으로 이해할 수 있다
- 다음 두 반사변환은 생성원이 된다
\(x=\left( \begin{array}{cc} -\cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\)
\(y=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) - x와 y의 합성으로부터, 다음 회전변환을 얻는다
\(\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\)
역사
메모
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