"중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
| 55번째 줄: | 55번째 줄: | ||
| − | + | <h5>부정방정식에의 응용</h5> | |
| − | + | * 자연수 r에 대하여, 다음 부정방정식의 <math>x_i \geq 0</math>인 정수해의 개수를 구해보자<br><math>x_0+x_1+x_2+\cdots+x_n=r</math><br> | |
| + | * 해의 개수는 n+1개의 원소를 가지고 r개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 즉, 해의 개수는 다음과 같다<br><math>_{n+1} H_r=_{n+r}C_{r}=_{n+r}C_{n}</math><br> | ||
| 63번째 줄: | 64번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5> |
| 74번째 줄: | 75번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5> |
| 86번째 줄: | 87번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5> |
| 92번째 줄: | 93번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5> |
| 103번째 줄: | 104번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5> |
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
| 116번째 줄: | 117번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5> |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| − | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Bose%E2%80%93Einstein_statistics http://en.wikipedia.org/wiki/Bose–Einstein_statistics] | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
| 129번째 줄: | 134번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5> |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
| 139번째 줄: | 144번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5> |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
| 153번째 줄: | 158번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5> |
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
| − | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= | + | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%A4%91%EB%B3%B5%EC%A1%B0%ED%95%A9 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=중복조합] |
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= | ||
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= | ||
| 164번째 줄: | 169번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5> |
* 구글 블로그 검색<br> | * 구글 블로그 검색<br> | ||
| 172번째 줄: | 177번째 줄: | ||
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS] | * [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS] | ||
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained] | * [http://betterexplained.com/ BetterExplained] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2011년 1월 22일 (토) 04:10 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 중복조합
- 주어진 집합의 원소 중에서 뽑되 동일한 원소의 중복을 허용하여 뽑아내는 것
- 1과 2에서 세 개를 취하는 중복조합은 111, 112, 122, 222의 네 가지가 있음.
- n개 중에서 r개를 선택하는 중복조합의 개수를 이라고 쓰자. \(_n C_r = {n\choose r} \)즉, H(2,3)=4.
H(2,3) = C(2+3-1,3)=C(4,3)=4 임을 확인할 수 있다.
- 중복조합의 공식
\(_n H_r=_{n+r-1}C_{r}\)
조합과의 비교
- 조합은 여러 개의 원소 중에서 몇 개를 순서에 관계없이 뽑아내는 것
- 가령 1,2,3,4 네 개의 수 가운데서 세 개씩 뽑아 모은 조합은 123, 124, 134, 234 의 네 가지
- n개 중에서 r개를 선택하는 조합의 개수를 \(_n C_r = {n\choose r} \)로 표현함
- 즉, \(_4 C_3 = {4\choose 3} =4\) 가 됨.
- 일반적으로 \(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\) 공식을 통해 구할수 있음.
예
- 증명의 아이디어를 이해하기 위해, H(4,2)의 예를 들어보자
- 1,2,3,4 중에서 뽑는 것으로 하면, 중복해서 두 개를 뽑는 방법은 다음과 같이 열 가지가 있음.
- 11,12,13,14,22,23,24,33,34,44
- 이제 이 중복조합에서 첫번째 것은 내버려 두고, 두번째 수에 1을 더하면 다음과 같은 결과를 얻음.
- 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45
- 이것은 1부터 5까지 중에서 2개를 선택하는 방법과 같아짐.
- 그러므로, H(4,2)=C(5,2)
- 또다른 예. H(2,3)의 계산.
- 1,2 중에서 세 가지를 택하는 중복조합은 다음과 같음.
- 111,112,122,222
- 위에서 한 것처럼 첫번째 것은 내버려 두고, 두번째 것에 1, 세번째 것에 2를 더해 보면, 다음을 얻게 됨
- 123,124,134,234
- 이 경우는 1,2,3,4 중에서 세 개를 뽑는 조합과 일치함.
- 그러므로, H(2,3)=C(4,3)
- 특정한 조합과 특정한 중복조합 사이에 일대일대응이 존재하는 것을 보이는 것임.
부정방정식에의 응용
- 자연수 r에 대하여, 다음 부정방정식의 \(x_i \geq 0\)인 정수해의 개수를 구해보자
\(x_0+x_1+x_2+\cdots+x_n=r\) - 해의 개수는 n+1개의 원소를 가지고 r개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 즉, 해의 개수는 다음과 같다
\(_{n+1} H_r=_{n+r}C_{r}=_{n+r}C_{n}\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bose–Einstein_statistics
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)