Durfee 사각형 항등식(Durfee rectangle identity)

 

 

개요

• (Durfee rectangle identity)
  \(l \in \mathbb{N}\),
  \(\sum_{n,m\geq 0, n-m=l}\frac{q^{nm}}{(q)_n(q)_m}=\frac{1}{(q)_{\infty}}\) 또는
  \(\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+l)}}{(q)_n(q)_{n+l}}=\frac{1}{(q)_{\infty}}\)
  

 

(증명)

q-가우스 합 을 이용하자.

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\)

여기서 \(a\to\infty, b\to\infty,c=q^l\) 로 두면, 원하는 항등식을 얻는다. ■

 

 

(따름정리)

 

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = 1+\sum_{n=1}\frac{q^{n^2}}{(1-q)^2(1-q^2)^2\cdots(1-q^n)^2}\)

 

 

 

(증명)

 

http://cfranc.wordpress.com/2009/11/24/an-identity-of-ramanujan/ ■

 

 

 

 

응용

\(\frac{\sum_{l\geq 0}q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}}{(q)_{\infty}}=\sum_{n,m\geq 0}\frac{q^{\frac{1}{2}(an^2+(2-2a)mn+am^2)+b(n-m)+c}}{(q)_n(q)_m}\)

(pf)

\(\frac{\sum_{l\geq 0}q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}}{(q)_{\infty}}=\sum_{l\geq 0}\frac{q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}}{(q)_{\infty}}\)

\(l=n-m\) 로 두면, 

\(=\sum_{l\geq 0}\sum_{n,m\geq 0, n-m=l}\frac{q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}q^{nm}}{(q)_n(q)_m}\)

\(=\sum_{n,m\geq 0}\frac{q^{nm+\frac{a}{2}(n-m)^2+b(n-m)+c}}{(q)_n(q)_m}=\sum_{n,m\geq 0}\frac{q^{\frac{1}{2}(an^2+(2-2a)mn+am^2)+b(n-m)+c}}{(q)_n(q)_m}\)

■

 

 

 

http://www.springerlink.com/content/l842207736576587/

http://siba-ese.unisalento.it/index.php/quadmat/article/download/6953/6317

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

•  
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=