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<h5>가우스의 초기하함수</h5>
 
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<math>\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n</math>
 
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<h5>q-초기하급수</h5>
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*  초기하급수의 q-analogue<br><math>\;_{j}\phi_k \left[\begin{matrix}  a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\  b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix}  ; q,z \right] = \sum_{n=0}^\infty  \frac {(a_1, a_2, \ldots, a_{j};q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k,q;q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n</math><br>
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* q-hypergeometric 또는 basic hypergeometric 급수로 불림
  
 
 
 
 
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* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)|Hypergeometric differential equations]]
 
* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)|Hypergeometric differential equations]]
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* [[슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)|Schwarz-Christoffel mappings]]
 
* [[3004476|로저스-라마누잔 항등식]]
 
* [[3004476|로저스-라마누잔 항등식]]
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
 
<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
  
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* Basic hypergeometric series
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* Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), 
 
* [http://www.amazon.com/B-Marko-Petkovsek/dp/1568810636 A=B]<br>
 
* [http://www.amazon.com/B-Marko-Petkovsek/dp/1568810636 A=B]<br>
 
** Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, AK Peters, Ltd, 1996-1
 
** Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, AK Peters, Ltd, 1996-1
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** http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html
 
* [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]<br>
 
** Zeev Nehari
 
** Zeev Nehari
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* [http://dx.doi.org/10.1137/1016081 Applications of Basic Hypergeometric Functions]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1137/1016081 Applications of Basic Hypergeometric Functions]<br>
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** SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
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** George E. Andrews, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
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** George E. Andrews
 
 
** This paper surveys recent applications of basic hypergeometric functions to partitions, number theory, finite vector spaces, combinatorial identities and physics.
 
** This paper surveys recent applications of basic hypergeometric functions to partitions, number theory, finite vector spaces, combinatorial identities and physics.
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EA%B8%B0%ED%95%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EA%B8%B0%ED%95%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Basic_hypergeometric_series
 
* http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=

2009년 8월 17일 (월) 17:57 판

간단한 소개
  • 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함. 즉,
    \(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)

\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우

 

 

간단한 예

\(1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots\)

\(\beta_n = \frac{1}{n!}\)

\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)

 

 

 

정의

계수의 비가 유리함수이므로 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 주어지는 경우,

\(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)

where c and d are the leading coefficients of A and B

급수는 다음과 같이 주어진다.

\(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)

변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)

Pochhammer 기호 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)

를 사용하면 좀더 간결한 다음과 같은 표현을 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)

 

가우스의 초기하함수

 

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\)

미분방정식

\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)

을 만족시킴.

 

 

타원적분과 초기하급수

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} \)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\) (감마함수) 이므로

\(K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)


Clausen 항등식

\(\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \)

 

 

q-초기하급수
  • 초기하급수의 q-analogue
    \(\;_{j}\phi_k \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} ; q,z \right] = \sum_{n=0}^\infty \frac {(a_1, a_2, \ldots, a_{j};q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k,q;q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n\)
  • q-hypergeometric 또는 basic hypergeometric 급수로 불림

 

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