"컴팩트 리만곡면의 자기동형군"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
40번째 줄: 40번째 줄:
  
 
을 보이는 일이 남았다.
 
을 보이는 일이 남았다.
 +
 +
이 부등식의 증명은 [[fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리]]를 참조
  
 
 
 
 
−
 
−
이 부등식의 증명은 [[#]]
 
−
 
−
사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. '''각도가 모든 것을 결정한다'''!!! 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면
 
−
 
−
<blockquote>
 
−
<math> Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma</math>
 
−
</blockquote>
 
−
 
−
이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,
 
−
 
−
<blockquote>
 
−
<math>1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})</math>
 
−
</blockquote>
 
−
 
−
를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
 
−
 
−
정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.
 
−
 
−
 
−
 
−
그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는
 
−
 
−
<blockquote>
 
−
<math> \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}</math>
 
−
</blockquote>
 
−
 
−
로 주어진다. 이를 [http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7%29_triangle_group (2,3,7) 삼각형]이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는
 
−
 
−
<blockquote>
 
−
<math> Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}</math>
 
−
</blockquote>
 
−
 
−
한편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도
 
−
 
−
<blockquote>
 
−
<math> \frac{\pi}{42}</math>
 
−
</blockquote>
 
−
 
−
의 두배 이상은 되어야 한다. 즉
 
−
 
−
<blockquote>
 
−
<math>Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}</math>
 
−
</blockquote>
 
  
 
이렇게 해서 Hurwitz’s theorem 대략 증명끝.
 
이렇게 해서 Hurwitz’s theorem 대략 증명끝.

2009년 8월 22일 (토) 10:48 판

간단한 소개

Hurwitz의 정리

  The order of the automorphism group of a compact Riemann surface M of genus g > 1 is bounded by 84(g-1).  

증명의 아웃라인은 다음과 같다. (Riemann Surfaces, By Hershel M. Farkas, Irwin Kra Chapter V) 이 아웃라인에 대한 증명은 Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint By Gareth A. Jones, David Singerman 에 잘 나와있다. 내가 학부생일때는 서울대 중앙도서관에 없었는데, 지금은 어떨지 모르겠다.


간략하게 답을 적자면,

(1) by the Uniformization theorem
(2) essentially by the monodromy theorem
(3) the image of a compact set under a continuous map is compact.
(4),(5) (fundamental domain for a subgroup) = union of several copies (same as index) of (fundamental domain for the original group)

이렇게 하고 보니, 학부생들에게 가르치기는 다소 무리가 있어 보이기도 한다. 우리가 공산당도 아니고… -_-

(2)와 (5)를 보면, 문제는

\(Area(U/\Gamma)\), \(Area(U/N(\Gamma))\)

을 구하는 것으로 귀결된다.

\(Area(U/\Gamma)=2\pi (2g-2)\)

이것은 Gauss-Bonnet theorem

때문에 그러하다.

이제

\(Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}\)

을 보이는 일이 남았다.

이 부등식의 증명은 fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리를 참조

 

이렇게 해서 Hurwitz’s theorem 대략 증명끝.

 

하위주제들

 

 

 

하위페이지

 

 

재미있는 사실

 

 

관련된 단원

 

 

많이 나오는 질문

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

 

관련된 다른 주제들

 

관련도서 및 추천도서

 

참고할만한 자료

 

 

관련기사

네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)

 

 

블로그

 

이미지 검색

 

동영상
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=컴팩트_리만곡면의_자기동형군&oldid=19488"