"타자의 타율과 연분수"의 두 판 사이의 차이

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<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{10000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}</math>
 
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임을 보이면 된다.
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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* 2002sus
  
 
 
 
 

2009년 5월 15일 (금) 14:39 판

문제

타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?

  • 타율계산은 안타/타수에서 소수 넷째자리에서 반올림

 

 

287타석을 얻는 법
  • 연분수 근사를 해보자.
  • 33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]
    \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\)
    \(\frac{96}{287}=0.334494\cdots \)
  • 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능

 

  • 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]
  • 629/1886 = 0.33351007423117707
  • 연분수 계산기 Continued Fraction Calculator 참조

 

286타수 이하에서는 불가능함을 보이기

자연수 \(q\) 와 \(p<287\) 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다.

\(|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005\)

 

(증명)

\(3\leq p<287\) 인 경우에,

\(|{q}-\frac{334p}{10000}|>\frac{p}{2000}\)

\(|{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{10000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\)

\(|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000}\)

임을 보이면 된다.

\(|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|\)

의 최소값에 대하여 생각해 보자.

\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\(|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}\)

\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\(|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq \frac{1}{3}+ \frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\)

\(p=3k-1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\(|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq \frac{1}{3}- \frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\)

 

그러므로 \(3\leq p<287\) 인 경우, 모든 자연수 \(q\) 에 대하여 다음 부등식은 참이다.

\(|{q}-\frac{334}{10000}p|>\frac{p}{2000}\)  (증명끝)

 

 

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