"파동 방정식"의 두 판 사이의 차이
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5> | ||
| − | * | + | * 편미분방정식<br><math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u</math><br> |
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2010년 5월 11일 (화) 18:14 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 편미분방정식
\({ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u\)
주요용어
- 각속도
- 파동수
- 위상
- dispersion relation
일반해
- \(Y=f(x+at)+g(x-at)\). Let \(a\) be a constant.
\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\).
Let \(u=x+at\), \(v=x-at\).
Then \(Y=f(u)+g(v)\).
\(\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)\)
Let \(W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)\).
\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))\)
Now turn to the right hand side.
\(\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)
Let \(Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)
\(\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)\)
따라서
\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))\)■
평면파
맥스웰방정식
- 맥스웰방정식 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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역사
메모
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수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
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