"파동 방정식"의 두 판 사이의 차이

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* 각속도
 
* 각속도
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* 파동수
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* 파동수 (wavenumber)
 
* 위상
 
* 위상
 
* dispersion relation
 
* dispersion relation
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<h5>일반해</h5>
 
<h5>일반해</h5>
  
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* <math>Y=f(x+at)+g(x-at)</math>. Let <math>a</math> be a constant.<br>
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* <math>Y=f(x+at)+g(x-at)</math>.<br>
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 <math>\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}</math>.
 
 <math>\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}</math>.
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Let <math>u=x+at</math>, <math>v=x-at</math>.
+
<math>u=x+at</math>, <math>v=x-at</math>라 두자.
  
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Then <math>Y=f(u)+g(v)</math>.
+
그러면 <math>Y=f(u)+g(v)</math>로 쓸 수 있다.
  
 
<math>\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)</math>
 
<math>\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)</math>
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<math>\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)</math>
 
<math>\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)</math>
  
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Let <math>Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)</math>
+
 
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 +
<math>Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)</math>
  
 
<math>\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)</math>
 
<math>\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)</math>

2010년 5월 20일 (목) 15:24 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 편미분방정식
    \({ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u\)

 

 

주요용어
  • 각속도
  • 파동수 (wavenumber)
  • 위상
  • dispersion relation

 

 

일반해
  • \(Y=f(x+at)+g(x-at)\).

 

 \(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\).

 

\(u=x+at\), \(v=x-at\)라 두자.

그러면 \(Y=f(u)+g(v)\)로 쓸 수 있다.

\(\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)\)

 \(W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)\).

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))\)

 

Now turn to the right hand side.

\(\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)

 

\(Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)\)

 

따라서

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))\)■

 

 

평면파
  • \(u(\mathbf{x},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}\)

 

 

맥스웰방정식

 

  • 맥스웰방정식 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다
    \( \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)

 

 

 

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