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* 위와 같은 초기조건이 주어지는 경우, 파동방정식의 해는 [[푸리에 급수]] 를 사용하여 해를 표현할 수 있다<br> | * 위와 같은 초기조건이 주어지는 경우, 파동방정식의 해는 [[푸리에 급수]] 를 사용하여 해를 표현할 수 있다<br> | ||
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* 슈뢰딩거 방정식 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html#c1<br> | * 슈뢰딩거 방정식 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html#c1<br> | ||
| + | * 2차원 파동방정식 [http://twitter.com/#%21/mathematicsprof/status/122814424959557632 http://twitter.com/#!/mathematicsprof/status/122814424959557632]<br> | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5> | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_wave | * http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_wave | ||
| − | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave |
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
2011년 10월 9일 (일) 09:30 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 편미분방정식
\({ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u\)
주요용어
- 각속도(circular frequency) \(\omega\)
- 파동수 (wavenumber) \(k\)
- 속도 \(v=\omega/k\)
- 진폭 amplitude 파동의 높이
- 위상
- dispersion relation
- 일반적인 파동을 기술하는 편미분방정식에 대하여 wave train \(u(x,t)=A\cos(kx-\omega t)\) 가 미분방정식의 해가 되기 위해 만족시켜야 하는 각속도(circular frequency) \(\omega\)와 파동수 (wavenumber) \(k\)의 관계
- 파동방정식의 경우는 \(k=v\omega\) 를 만족시킨다
경계조건과 초기조건
- 초기조건 (\(t=0\))
- 디리클레 경계조건
\(u(t,x=0)=u(t,x=a)=0\) - 노이만 경계조건
\(u_{x}(t,x=0)=u_{x}(t,x=a)=0\)
1차원에서의 일반해
- \(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\) 또는 \(\mu\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\) (\(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\))
- 일반해는 \(Y=f(x+vt)+g(x-vt)\)로 주어진다
- f는 왼쪽, g는 오른쪽으로 이동하는 파동이며, Y는 그 중첩으로 주어진다
(증명)
\(u=x+at\), \(v=x-at\)라 두자.
그러면 \(Y=f(u)+g(v)\)로 쓸 수 있다.
\(\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)\)
\(W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)\).
\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))\)
\(\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)
\(Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)
\(\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)\)
따라서
\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))\)■
변수분리
- 정상파
\(u(x,t)=X(x)T(t)\) 꼴로 표현되는 파동방정식의 해 - 경계조건 (양 끝점의 위치는 고정) \( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)=0\) 이 주어질때, 정상파의 해는 다음과 같다
\(u_n(x,t)=[A\cos(\frac{n\pi v t}{L})+B\sin(\frac{n\pi v t}{L})]\sin (\frac{n\pi x}{L})\)
(증명)
\(X''(x)=-\frac{\lambda_{n}^2}{v^2}X(x)\)
\(T''(t)=-\lambda_{n}^2T(t)\)
여기서 \(\lambda_{n}=\frac{n\pi v}{L}, \n\in \mathbb{Z}\)
\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) ■
- 초기조건 (\(t=0\))
위치 \(u(x,0)=f(x)\)
속도 \(u_t(x,0)=g(x)\) - 위와 같은 초기조건이 주어지는 경우, 파동방정식의 해는 푸리에 급수 를 사용하여 해를 표현할 수 있다
- 정상파 http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave
평면파
- \(u(\mathbf{x},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}\)
맥스웰방정식
- 맥스웰방정식 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
- 슈뢰딩거 방정식 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html#c1
- 2차원 파동방정식 http://twitter.com/#!/mathematicsprof/status/122814424959557632
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
-
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_wave
- http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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