"파동 방정식"의 두 판 사이의 차이

2012년 1월 13일 (금) 14:30 판

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파동방정식

개요

편미분방정식
\({ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u\)

주요용어

각속도(circular frequency) \(\omega\)
파동수 (wavenumber) \(k\)
속도 \(v=\omega/k\)
진폭 amplitude 파동의 높이
위상
dispersion relation
- 일반적인 파동을 기술하는 편미분방정식에 대하여 wave train \(u(x,t)=A\cos(kx-\omega t)\) 가 미분방정식의 해가 되기 위해 만족시켜야 하는 각속도(circular frequency) \(\omega\)와 파동수 (wavenumber) \(k\)의 관계
- 파동방정식의 경우는 \(k=v\omega\) 를 만족시킨다

경계조건과 초기조건

초기조건 (\(t=0\))

디리클레 경계조건
\(u(t,x=0)=u(t,x=a)=0\)
노이만 경계조건
\(u_{x}(t,x=0)=u_{x}(t,x=a)=0\)

1차원에서의 일반해

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\) 또는 \(\mu\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\) (\(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\))
일반해는 \(Y=f(x+vt)+g(x-vt)\)로 주어진다
f는 왼쪽, g는 오른쪽으로 이동하는 파동이며, Y는 그 중첩으로 주어진다

(증명)

\(u=x+at\), \(v=x-at\)라 두자.

그러면 \(Y=f(u)+g(v)\)로 쓸 수 있다.

\(\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)\)

\(W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)\).

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))\)

\(\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)

\(Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)\)

따라서

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))\)■

변수분리

정상파
\(u(x,t)=X(x)T(t)\) 꼴로 표현되는 파동방정식의 해
경계조건 (양 끝점의 위치는 고정) \( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)=0\) 이 주어질때, 정상파의 해는 다음과 같다
\(u_n(x,t)=[A\cos(\frac{n\pi v t}{L})+B\sin(\frac{n\pi v t}{L})]\sin (\frac{n\pi x}{L})\)

(증명)

\(X''(x)=-\frac{\lambda_{n}^2}{v^2}X(x)\)

\(T''(t)=-\lambda_{n}^2T(t)\)

여기서 \(\lambda_{n}=\frac{n\pi v}{L}, \n\in \mathbb{Z}\)

\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) ■

초기조건 (\(t=0\))
위치 \(u(x,0)=f(x)\)
속도 \(u_t(x,0)=g(x)\)
위와 같은 초기조건이 주어지는 경우, 파동방정식의 해는 푸리에 급수 를 사용하여 해를 표현할 수 있다
정상파 http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave

로렌츠 불변성

파동방정식 \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } \) 은 로렌츠변환에 대하여 불변이다.
즉 \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } \) 이면, \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u' \over \partial t'^2 } = { \partial^2 u' \over \partial x'^2 } \) 이 성립한다.
여기서
\(\left( \begin{array}{c} x' \\ c t' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \cosh (\epsilon ) & \sinh (\epsilon ) \\ \sinh (\epsilon ) & \cosh (\epsilon ) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ c t \end{array} \right)\) , \(u'(x',t')=u(x,t)\)

평면파

\(u(\mathbf{x},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}\)

맥스웰방정식

맥스웰방정식 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)

역사

메모

슈뢰딩거 방정식 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html#c1
2차원 파동방정식 http://twitter.com/#!/mathematicsprof/status/122814424959557632

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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">로렌츠 불변성</h5>
-<math>\frac{1}{c^2}u_{tt}-u_{xx}=0</math>
+* 파동방정식 <math>\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math> 은 로렌츠변환에 대하여 불변이다.
+* 즉 <math>\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math> 이면, <math>\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u' \over \partial t'^2 } = { \partial^2 u' \over \partial x'^2 } </math> 이 성립한다.
-<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u</math>
+*  여기서<br><math>\left( \begin{array}{c}  x' \\  c t' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc}  \cosh (\epsilon ) & \sinh (\epsilon ) \\  \sinh (\epsilon ) & \cosh (\epsilon ) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c}  x \\  c t \end{array} \right)</math> , <math>u'(x',t')=u(x,t)</math><br>
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 * [[맥스웰 방정식|맥스웰방정식]] 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다<br><math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math><br>
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
-* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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+<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
+* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNTU5ZjE0NDQtZDVlOS00MTM4LTkxMWYtYzgwNDE2ZDdjN2E0&sort=name&layout=list&num=50<br>
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+* http://functions.wolfram.com/
+* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
+* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
+* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
+* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]