"파이 π는 무리수이다"의 두 판 사이의 차이

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<math>\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}</math>
 
<math>\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}</math>
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'''보조정리 1'''
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<math>\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx</math> 는 \pi의 (j+1)차 다항식/\pi^{j+1} 꼴로 표현된다.
  
 
 
 
 
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정의
  
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* [[르장드르 다항식]]<br><math>P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]</math><br>
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[[르장드르 다항식]] 의 변형, <math>P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
  
 
 
 
 
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* [http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)]<br>
 
* [http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)]<br>
 
** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
 
** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
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* [[#]]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2974737%20On%20Lambert%27s%20Proof%20of%20the%20Irrationality%20of%20%CF%80%20M.%20Laczkovich%20The%20American%20Mathematical%20Monthly%20Vol.%20104,%20No.%205%20%28May,%201997%29,%20pp.%20439-443%20Published%20by:%20Mathematical%20Association%20of%20America%20Article%20Stable%20URL:%20http://www.jstor.org/stable/2974737 On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi]<br>
 
** M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
 
** M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
 
* [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br>

2011년 1월 1일 (토) 13:21 판

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개요

 

 

관찰1

\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)

\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

 

보조정리 1

\(\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx\) 는 \pi의 (j+1)차 다항식/\pi^{j+1} 꼴로 표현된다.

 

 

정의

르장드르 다항식 의 변형, \(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\)에 대하여, 다음이 성립한다.

 

(정리)

\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx\).

(증명)

부분적분. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 의 보조정리4 참조. ■

 

 

π는 무리수임의 증명

π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자. 

\(\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx \)에 의하여,

\(\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}\) 는 0이 아닌 유리수가 된다. \(P_{n}(x)\)는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, \(a^{n+1}\)을 \(A_{n}/B_{n}\)의 양변에 곱하면, 자연수를 얻는다. 

즉, \(0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수이다. 한편,

\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\)

우변에 대하여 다음이 성립한다.

\(n \to \infty\) 일 때, \(a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\leq a^{n+1}\frac{1}{n!}(\frac{1}{4})^n\pi^n|\to 0\)

따라서 

\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■

 

 

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