"파이 π는 무리수이다"의 두 판 사이의 차이
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2012년 3월 14일 (수) 16:59 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 파이가 무리수임의 증명
- [Huylebrouck2001]참조
관찰
\(\int_0^1 \sin \pi x\,dx = \frac{2}{\pi}\)
\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)
\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
보조정리 1
다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n}\) 이 존재한다.
\(\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\)
(증명)
\(y_{n}=\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx\) 라 두자.
다음 점화식이 성립한다.
\(y_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{n(n-1)}{\pi^2}y_{n-2}\), \(n\geq 2\), \(y_0=\frac{2}{\pi}\), \(y_1=\frac{1}{\pi}\).
수학적귀납법에 의해 보조정리가 증명된다. ■
정의
르장드르 다항식 의 변형, \(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\) 을 정의하자.
보조정리 2
\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다.
\(\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx\).
(증명)
부분적분. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 의 보조정리4 참조. ■
보조정리 3
다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n}\) 이 존재한다.
\(\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\)
(증명)
\(P_{n}(x)\)는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, 보조정리 1 에 의하여 증명된다. ■
귀류법을 통한 증명의 마무리
이제 π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자.
보조정리 3에 의하여,
\(I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{b(a_na^{n}+a_{n-1}ba^{n-1}+\cdots+a_0b^{n})}{a^{n+1}}\)
는 0이 아닌 유리수가 된다. 따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수이다.
보조정리 2에 의하여,
\(0<|a^{n+1}I_{n}|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\)
구간 \([0,1]\)에서 \(x(1-x)\)의 최대값은 \(1/4\)이므로,
\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}\frac{\pi^{n}}{4^n}|=|\frac{a}{n!}(\frac{a\pi}{4})^n|\) 이다.
n이 커지면 우변은 0으로 수렴한다.
따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■
역사
- 1761 - 람베르트가 파이 π는 무리수 임을 증명
- 1882 - 린데만이 파이는 초월수임을 증명하고 따라서 원이 자와 컴파스로 작도 불가능함을 증명
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사연표
메모
- 같은 아이디어를 사용하여 ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)를 증명할 수 있다
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_π_is_irrational
- http://planetmath.org/encyclopedia/PiAndPi2AreIrrational.html
관련논문
- [Huylebrouck2001]Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
- On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi
- M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
- A simple proof that $\pi$ is irrational
- Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
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관련기사
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