"판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)"의 두 판 사이의 차이
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* 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨<br><math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math><br> | * 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨<br><math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math><br> | ||
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| − | * [[데데킨트 에타함수]] | + | * [[데데킨트 에타함수]]<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math><br> |
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| − | + | * discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math><br> | |
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| − | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | + | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] |
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* [[데데킨트 에타함수]]<br> | * [[데데킨트 에타함수]]<br> | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search= | * http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search= | ||
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | * http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | ||
2009년 12월 4일 (금) 23:38 판
타원곡선의 discriminant
- \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.
\(F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)\) - 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
- 또한 cusp 형식이 됨.
\(g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\), \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,
\(F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\)
- 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는
\(g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\) 로 주어짐. - \(g_2, g_3\)에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조
정의
- \(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
- \(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능
모듈라 성질
- 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨
\(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)
무한곱 표현과 데데킨트 에타함수
- 데데킨트 에타함수
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)
라마누잔의 타우 함수
- discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,
\(\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)
상위 주제
하위페이지
재미있는 사실
역사
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
참고할만한 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
- http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
- 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 네이버 오늘의과학
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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