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2010년 8월 21일 (토) 18:08 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 복소수는 \(i^2=-1\) 을 만족시키는 수를 가지고 실수를 확장하여 얻어짐.
  • 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함.
  • 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험
  • 1843년 마침내 4차원에서 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함.
  • 4차원 normed division 대수

 

 

정의
  • 4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수이다.  모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.
  • 여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
    • \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
    • \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
  • 사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.

 

군론과의 관계
  • \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸

 

곱셈표는 다음과 같이 읽음

\(\cdot\) b
a \(a \cdot b\)

 

 

\(\cdot\) 1 -1 i -i j -j k -k
1 1 -1 i -i j -j k -k
-1 -1 1 -i i -j j -k k
i i -i -1 1 k -k -j j
-i -i i 1 -1 -k k j -j
j j -j -k k -1 1 i -i
-j -j j k -k 1 -1 -i i
k k -k j -j -i i -1 1
-k -k k -j j i -i 1 -1

 

 

3차원 기하학과의 관계
  • 단위 사원수 \(q\) 에 대하여, 3차원 벡터\((x,y,z)\) 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.
    • \(q(xi+yj+zk)q^{-1}\)
  • 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.

 

  • 사원수 \(a+b i+c j+d k\) 를 복소행렬 \(\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}\) 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다.

 

 

파울리 행렬과의 관계

\(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)

\(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)

\(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)

\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\)

 

\(1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3\)

 

 

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