"행렬식"의 두 판 사이의 차이

2012년 12월 13일 (목) 05:16 판

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행렬식

개요

교대 겹선형 k-형식(k-alternating form)

정의

n x n 행렬 $A=(a_{ij})_{1\le i,j \le n}$에 대하여, 다음과 같이 행렬식을 정의

\[\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i \sigma(i)}\] 여기서 $S_n$은 대칭군 (symmetric group)

행렬 $A=(a_{ij})$의 행렬식을 $|a_{i,j}|_{1\le i,j \le n}$ 형태로 표현하기도 함

예

$n=1$ 일 때,

$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} \end {vmatrix} =a_{1,1} $$

$n=2$일 때,

$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end {vmatrix} =a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} $$

n=3일 때,

$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end {vmatrix} =a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2},-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} $$

n=4일 때,

$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} & a_{4,4} \end {vmatrix} =a_{1,4} a_{2,3} a_{3,2} a_{4,1}-a_{1,3} a_{2,4} a_{3,2} a_{4,1}-a_{1,4} a_{2,2} a_{3,3} a_{4,1}+a_{1,2} a_{2,4} a_{3,3} a_{4,1}+a_{1,3} a_{2,2} a_{3,4} a_{4,1}-a_{1,2} a_{2,3} a_{3,4} a_{4,1}-a_{1,4} a_{2,3} a_{3,1} a_{4,2}+a_{1,3} a_{2,4} a_{3,1} a_{4,2}+a_{1,4} a_{2,1} a_{3,3} a_{4,2}-a_{1,1} a_{2,4} a_{3,3} a_{4,2}-a_{1,3} a_{2,1} a_{3,4} a_{4,2}+a_{1,1} a_{2,3} a_{3,4} a_{4,2}+a_{1,4} a_{2,2} a_{3,1} a_{4,3}-a_{1,2} a_{2,4} a_{3,1} a_{4,3}-a_{1,4} a_{2,1} a_{3,2} a_{4,3}+a_{1,1} a_{2,4} a_{3,2} a_{4,3}+a_{1,2} a_{2,1} a_{3,4} a_{4,3}-a_{1,1} a_{2,2} a_{3,4} a_{4,3}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} a_{4,4}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{4,4}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} a_{4,4}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2} a_{4,4}-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3} a_{4,4}+a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3} a_{4,4} $$

예

반데몬드 행렬 (Vandermonde matrix)

역사

메모

http://mathoverflow.net/questions/35988/why-were-matrix-determinants-once-such-a-big-deal
벡터의 스칼라 삼중곱
$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}$

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 ==정의==
-* <em style="">n</em> x <em style="">n</em> 행렬 <math>A=(a_{ij})</math>에 대하여, 다음과 같이 행렬식을 정의<br><math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n}  \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i \sigma(i)}</math><br> 여기서 <math>S_n</math>은 [[대칭군 (symmetric group)]]<br>
+* <em style="">n</em> x <em style="">n</em> 행렬 <math>A=(a_{ij})_{1\le i,j \le n}</math>에 대하여, 다음과 같이 행렬식을 정의
-* $n=1$ 일 때, $\left(
+:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n}  \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i \sigma(i)}</math>
-\begin{array}{c}
+여기서 <math>S_n</math>은 [[대칭군 (symmetric group)]]
+* 행렬 $A=(a_{ij})$의 행렬식을 $|a_{i,j}|_{1\le i,j \le n}$ 형태로 표현하기도 함
+==예==
+* $n=1$ 일 때,
+$$
+\begin{vmatrix}
   a_{1,1}
-\end{array}
+\end {vmatrix}
-\right)
+=a_{1,1}
-$ 의 행렬식은 $a_{1,1}$
+$$
-*  $n=2$일 때,
+* $n=2$일 때,
-$
+$$
-\left(
+\begin{vmatrix}
-\begin{array}{cc}
   a_{1,1} & a_{1,2} \\
   a_{2,1} & a_{2,2}
-\end{array}
+\end {vmatrix}
-\right)
+=a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1}
-$ 의 행렬식은 <math>a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1}</math>
+$$
-*  n=3<br><math>a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2},-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1}</math><br>
+*  n=3일 때,
+$$
+\begin{vmatrix}
+ a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
+ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
+ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
+\end {vmatrix}
+=a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2},-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1}
+$$
+*  n=4일 때,
+$$
+\begin{vmatrix}
+ a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\
+ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\
+ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\
+ a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} & a_{4,4}
+\end {vmatrix}
+=a_{1,4} a_{2,3} a_{3,2} a_{4,1}-a_{1,3} a_{2,4} a_{3,2} a_{4,1}-a_{1,4} a_{2,2} a_{3,3} a_{4,1}+a_{1,2} a_{2,4} a_{3,3} a_{4,1}+a_{1,3} a_{2,2} a_{3,4} a_{4,1}-a_{1,2} a_{2,3} a_{3,4} a_{4,1}-a_{1,4} a_{2,3} a_{3,1} a_{4,2}+a_{1,3} a_{2,4} a_{3,1} a_{4,2}+a_{1,4} a_{2,1} a_{3,3} a_{4,2}-a_{1,1} a_{2,4} a_{3,3} a_{4,2}-a_{1,3} a_{2,1} a_{3,4} a_{4,2}+a_{1,1} a_{2,3} a_{3,4} a_{4,2}+a_{1,4} a_{2,2} a_{3,1} a_{4,3}-a_{1,2} a_{2,4} a_{3,1} a_{4,3}-a_{1,4} a_{2,1} a_{3,2} a_{4,3}+a_{1,1} a_{2,4} a_{3,2} a_{4,3}+a_{1,2} a_{2,1} a_{3,4} a_{4,3}-a_{1,1} a_{2,2} a_{3,4} a_{4,3}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} a_{4,4}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{4,4}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} a_{4,4}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2} a_{4,4}-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3} a_{4,4}+a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3} a_{4,4}
+$$