"L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
18번째 줄: 18번째 줄:
 
**  함수방정식<br>
 
**  함수방정식<br>
 
**  오일러곱<br>
 
**  오일러곱<br>
 +
*  중요한 문제들<br>
 +
**  해석적확장의 개념적 이해<br>
 +
**  special values <br>
  
 
 
 
 
25번째 줄: 28번째 줄:
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">리만제타함수</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">리만제타함수</h5>
  
−
* [[리만제타함수]] 항목 참조<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, <math>\operatorname{Re} s> 1</math><br>
+
* [[리만제타함수]] 항목 참조<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br>
  
 
 
 
 
31번째 줄: 34번째 줄:
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">디리클레 L-함수</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">디리클레 L-함수</h5>
  
−
*  준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math>, <math>\operatorname{Re} s> 1</math><br>
+
*  준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}</math>, <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br>
−
* [[디리클레 L-함수]]<br>
+
*  <br>[[디리클레 L-함수]] 에서 자세히 다룸<br>
  
 
 
 
 
43번째 줄: 46번째 줄:
  
 
*  수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br>
 
*  수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br>
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">s=1에서의 값</h5>
 
−
 
−
<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})</math>
 
−
 
−
<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}</math>
 
−
 
−
<math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math>
 
−
 
−
[[가우스 합|가우스합]] 항목 참조
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이차잉여에의 응용</h5>
 
−
 
−
7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 와  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
 
−
 
−
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 라 두면, <math>d_K=-p</math>이며  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 는  <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시킨다. 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 <math>\chi(-1)=-1</math> 이므로 <math>\chi</math> 는 odd
 
−
 
−
[[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]에 있는 결과로부터
 
−
 
−
<math>L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}</math>
 
−
 
−
를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터
 
−
 
−
<math>L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}</math>
 
−
 
−
[[가우스 합|가우스합]] 으로부터 <math>\tau (\chi)=i\sqrt p</math>
 
−
 
−
이제 위의 두 값을 비교하면, <math>h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}</math>
 
−
 
−
이로부터 소수 <math>p</math>에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">정적분</h5>
 
−
 
−
<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math>
 
−
 
−
<math>L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}</math>
 
−
 
−
<math>L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}</math>
 
−
 
−
<math>=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
이제 <math>L'(1)</math> 의 값을 구하면 된다. 
 
−
 
−
<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> 와 [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] 의 에르미트 표현 <math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>  을 사용하면,
 
−
 
−
<math>L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>
 
−
 
−
<math>L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math>
 
−
 
−
가 만족시키는 함수방정식
 
−
 
−
<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>
 
−
 
−
을 사용하자.
 
−
 
−
<math>L(0)=\frac{1}{2}</math> 을 쉽게 얻을 수 있다.
 
−
 
−
한편 [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]] 의 값 <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math> 를 활용하여,
 
−
 
−
<math>L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>
 
−
 
−
를 얻는다. 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
따라서
 
−
 
−
<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}</math>
 
−
 
−
* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]] 항목 참조
 
−
 
−
 
 
  
 
 
 
 

2009년 11월 4일 (수) 17:26 판

간단한 소개

 

 

정의
  • 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 다음과 같이 정의
    \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\)
  • 예
  • 중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
  • 중요한 문제들
    • 해석적확장의 개념적 이해
    • special values 

 

 

리만제타함수
  • 리만제타함수 항목 참조
    \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), \(\mathfrak{R}(s)>1\)

 

디리클레 L-함수
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
    \(L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}\), \(\mathfrak{R}(s)>1\)
  •  
    디리클레 L-함수 에서 자세히 다룸

 

 

 

데데킨트 제타함수
  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

역사

 

 

관련된 다른 주제들

 

수학용어번역

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서 및 추천도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=L-함수,_제타_함수와_디리클레_급수&oldid=2279"