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==디리클레 L-함수의 미분==
 
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* <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[디리클레 L-함수]]는 다음을 만족시킴<br><math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math><br>
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* <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[디리클레 L-함수]]는 다음을 만족시킴:<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math><br>
  
 
 
 
 
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* [[디리클레 베타함수]]<br><math>K=\mathbb{Q}(i)</math><br><math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math><br>
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* [[디리클레 베타함수]]:<math>K=\mathbb{Q}(i)</math>:<math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math><br>
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* <math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, <math>\omega^2+\omega+1=0</math><br><math>L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})</math><br>
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* <math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, <math>\omega^2+\omega+1=0</math>:<math>L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})</math><br>
  
 
 
 
 

2013년 1월 12일 (토) 09:04 판

개요

 

리만제타함수

 

디리클레 L-함수의 미분

  • \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]

 

 

예

  • 디리클레 베타함수\[K=\mathbb{Q}(i)\]\[\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\]
  • \(K=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega^2+\omega+1=0\)\[L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})\]

 

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