구면모형(spherical model)

처음에는 spherical model을 '구모형'으로 옮길까 하다가 물리용어조정안을 찾아보니 '구면모형'으로 부르더군요. 생각해보니 이게 맞습니다. 이 글에서는 패쓰리아의 책 12.4절의 구면모형을 다루고자 합니다.

스핀이 +1 또는 -1 중 하나의 값만을 갖는 이징 모형을 일반화하려는 시도가 꾸준히 있었는데요, 그러한 시도 중 하나가 칵(Kac)의 가우스 모형(Gaussian model)입니다. 각 스핀은 음의 무한대부터 양의 무한대까지의 값을 갖되 가우스 확률분포를 따르도록 하는 겁니다. 그러면 정확한 해를 2차원까지밖에 모르는 이징 모형에 비해 임의의 차원에서 정확한 해를 구할 수 있다고 합니다. 다만 2보다 큰 차원에서는 잘 맞지만, 2 이하의 차원에서는 분배함수의 적분이 발산해버린다고 합니다.

이렇게 발산하는 문제를 해결하기 위해 스핀들의 제곱의 총합이 제한되는 조건을 추가했다고 하네요.

\(\sum_{i=1}^N \sigma_i^2=N\)

이 조건을 머리 속에 그려보면, N개의 σ_i가 N차원 수퍼스핀의 각 성분이라고 생각할 수 있습니다. 이 수퍼스핀의 크기는 N의 제곱근이고요. 다시 말해서 이 수퍼스핀은 반지름이 N^1/2인 초구의 표면 위의 한 점을 가리킨다고 할 수 있습니다. 그래서 구면모형이라 불립니다.

그런데 각 스핀에 대해서는 정준 앙상블(canonical ensemble; 바른틀 모둠) 평균을 쓰면서도 수퍼스핀에 대해서는 소정준 앙상블