안장점 어림, 최급강하법, 라플라스 방법

제목에 쓴 세 용어는 모두 같은 방법을 가리킨다고 합니다. 영어로 쓰자면 각각 saddle-point approximation, method of steepest descent, Laplace's method입니다(참고: 위키피디아의 관련 항목). 아래 지수함수로 펼쳐진 지수함수와 거듭제곱 꼴을 만드는 방법을 알려드렸는데 적분식을 제대로 푼 게 아니라 안장점 어림을 하여 얻은 결과입니다. 궁금해하실 분들이 있을까봐(과연;;) 간단히 소개합니다.

결과부터 쓰면 다음과 같습니다. 좌변의 적분에서 N이 매우 크다면 우변처럼 쓸 수 있다는 말입니다.

\(\int e^{Nf(x)}\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\)

f(x)는 x₀에서 최대값을 가집니다. 중간에 생략한 단계는 f(x)를 x₀에서 테일러 전개하는 건데요 2차항까지만 보면 다음과 같지요.

\(f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\)

이제 x는 2차항에만 있고 x로 적분하는 건 가우스 적분으로 쉽게 되고, 결과적으로 지수함수에 남는 건 f(x₀)뿐입니다.

앞 글에 나온 적분 결과는 이 방법을 그냥 이용한 겁니다. 적분식을 보기 좋게 다시 썼습니다.

\(\rho(t)\sim \int dL L^d e^{f(L)},\ f(L)=-pL^d-at/L^z\)

물론 여기는 위의 안장점 어림식의 N은 없습니다. 하지만 f(L)이 최대가 되는 L₀에서의 함수값, 즉 f(L₀)가 다른 f(L)보다 적분에 더 많이 기여할 거라는 건 여전히 사실이죠. f를 L로 미분해서 0이 되는 조건을 이용합니다.