여러겹 쪽거리에 대한 생각 정리

앞의 두 글[1][2]을 올리면서 감이 좀더 잡힌 것 같습니다. 첫 글에서 소개한 논문에 '두 눈금 칸토어 집합(two-scale Cantor set)'을 예로 들어 여러겹 쪽거리(multifractal)에 대한 논의를 한 게 있는데요. 아무래도 그림이 없다보니 허전한 느낌이 있네요. 그 논문에 있는 그림을 그대로 퍼오려다가 저작권에 걸리는 게 아닌가 싶어서 제가 파워포인트로 다시 그렸습니다.

위 그림에 보듯이 길이가 1인 선분을 길이가 l₁, l₂인 선분만 남겨놓고 잘라냅니다. 각 선분에는 '방문 확률' p₁, p₂가 주어집니다. 이렇게 잘라내기를 되풀이하여 생긴 집합을 '두 눈금 칸토어 집합'이라고 합니다. 이런 l들과 p들을 이용하여 분배함수가 정의되고 이것의 성질로부터 여러 지수들이 정의되며 그들 사이의 관계가 딸려 나옵니다.

어쨌든, 그래서 여러겹 쪽거리가 쪽거리와 다른 게 뭐냐?라는 질문에 답해야 합니다. 원래 칸토어 집합, 즉 길이가 1인 선분을 길이가 1/3인 선분 두 개만 남겨놓고 잘라내는 일을 되풀이함으로써 만들어지는 집합의 차원은 ln 2 / ln 3이며, 이 값만 있으면 되므로 칸토어 집합은 쪽거리 구조