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| − | * 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다 | + | * 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다:<math>\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i</math>:<math>\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i</math><br> |
| − | * 많은 보존량을 <math>\operatorname{tr}(L^p)</math> 의 형태로 얻을 수 있다 | + | * 많은 보존량을 <math>\operatorname{tr}(L^p)</math> 의 형태로 얻을 수 있다:<math>\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0</math><br> 따라서 <math>\operatorname{tr}(L^p)</math> 는 보존량이 된다<br> |
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| − | * 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자 | + | * 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자:<math>U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)</math>, <math>V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)</math><br> |
* 두 미분연산자 <math>L=4i \partial_{x} + U</math>와 <math>M=V</math> 가 락스 쌍이 되려면, <math>u_x=0</math> 이거나 <math>\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)</math> | * 두 미분연산자 <math>L=4i \partial_{x} + U</math>와 <math>M=V</math> 가 락스 쌍이 되려면, <math>u_x=0</math> 이거나 <math>\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)</math> | ||
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==Lax pairs with spectral parameters== | ==Lax pairs with spectral parameters== | ||
| − | * spectral curve | + | * spectral curve:<math>\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}</math><br> |
* 대수 곡선이 된다<br> | * 대수 곡선이 된다<br> | ||
* 각 점 <math>(k,z)</math> 에 대한 벡터공간 <math>\operatorname{ker}(kI-L(z))=0</math> 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다<br> | * 각 점 <math>(k,z)</math> 에 대한 벡터공간 <math>\operatorname{ker}(kI-L(z))=0</math> 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다<br> | ||
* for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC | * for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC | ||
| − | * integrals of motion | + | * integrals of motion:<math>\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} </math><br> |
2013년 1월 12일 (토) 09:30 판
개요
- 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
- spectral parameter
기호
- 위치 변수 \(q=(q_1,\cdots,q_N)\)
- 운동량 변수 \(p=(p_1,\cdots,p_N)\)
- \(\{q_i,p_i\}=\delta_{ij}\)
- 해밀토니안 \(H(q,p)\)
- 운동방정식\[\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\]\[\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\]
락스 쌍
- 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다
- 변수 q,p에 의존하는 두 \(N\times N\) 행렬 \(L(q,p) \) 와 \(M(q,p)\)이 락스 방정식 \(\dot{L}=\{L,M\}\) 을 만족시키면 이를 락스 쌍이라 한다
- 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다\[\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\]\[\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\]
- 많은 보존량을 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 의 형태로 얻을 수 있다\[\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0\]
따라서 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 는 보존량이 된다
isospectral deformation
- L is an isospectral deformation of L(0) if L(t) has the same eigenvalues for all t
- \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
- Record their derivative by a matrix\[v'(t)=B(t)v(t)\]
- Differentiate \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)\[L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)\]\[L'(t)v(t)+L(t)B(t)v(t)=\lambda B(t)v(t)=B(t)L(t)v(t)\]\[L'(t)v(t)=[B(t),L(t)]v(t)\]\[L'(t)=[B(t),L(t)]\]
- So B(t) and L(t) are a Lax pair
예: 토다 격자 (toda lattice)
예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)
- 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자
- \(L=\partial^2+u\)
- \(B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}\)
- \(\dot{L}=[L,B]\) 가 성립할 조건은 \(u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\) 와 동치이다
- 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation) 을 얻는다
예 : 사인-고든 방정식
- 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자\[U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)\], \(V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)\)
- 두 미분연산자 \(L=4i \partial_{x} + U\)와 \(M=V\) 가 락스 쌍이 되려면, \(u_x=0\) 이거나 \(\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)\)
- 사인-고든 방정식
Lax pairs with spectral parameters
- spectral curve\[\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\]
- 대수 곡선이 된다
- 각 점 \((k,z)\) 에 대한 벡터공간 \(\operatorname{ker}(kI-L(z))=0\) 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
- for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC
- integrals of motion\[\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \]
역사
메모
- Does the existence of a Lax pair imply integrability?
- http://iopscience.iop.org/0266-5611/25/12/123007
- Curves and Lax pairs -many examples
관련된 항목들
물리학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 한국물리학회 물리용어
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_pair
- http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(Hamiltonian)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket
리뷰논문
관련논문
- How to find the Lax pair from the Yang-Baxter equation M. Q. Zhang, 1991
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- 도서내검색
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