N차원 구면

 

 

개요

• 반지름 r인 n-차원 구면(n-sphere)
  
  • (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 을 만족시키는 점들의 집합 \(x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\)

 

1차원 구면 \(S^1\)

 

\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \end{array}\)

\(0\leq \theta \leq 2\pi\)

야코비안 \(r\)

• 원의 매개화와 삼각함수의 탄생 참조

 

 

2차원 구면 \(S^2\)

 

\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_3 & = & r \cos \left(\phi _1\right) \end{array}\)

야코비안 \(r^2 \sin \left(\phi _1\right)\)

\(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1 \leq 2\pi\)

 

 

 

 

 

3차원 구면 \(S^3\)

 

 

 

\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \cos \left(\phi _2\right) \end{array}\)

야코비안 \(r^3 \sin \left(\phi _1\right) \sin ^2\left(\phi _2\right)\)

 

\(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1,\phi_2 \leq 2\pi\)

 

 

 

 

4차원 구면 \(S^4\)

 

 

 

\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \sin \left(\phi _3\right) \cos \left(\phi _2\right) \\ x_5 & = & r \cos \left(\phi _3\right) \end{array}\)

야코비안 \(r^4 \sin \left(\phi _1\right) \sin ^2\left(\phi _2\right) \sin ^3\left(\phi _3\right)\)

 

\(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1,\phi_2,\phi_3 \leq 2\pi\)

 

 

단위구면의 부피에의 응용

• n차원 구면의 매개화
  다음의 점화식을 얻을 수 있다
  \( \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}\)
  \(\omega_1=2\pi \)
  

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxakJjVmNBWHh2VTg/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=