"오일러상수, 감마"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 적분표현:<math>\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt</math><br> (증명)<br> 아래의 <math>\Gamma'(1)=-\gamma</math> 참조. ■<br> | ||
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| − | * [[리만제타함수]]의 s=1에서의 로랑급수:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> | + | :<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> |
| − | * [[감마함수]]와 [[다이감마 함수(digamma function)]]:<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>:<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>:<math>\Gamma'(1)=-\gamma</math><br> | + | * [[감마함수]]와 [[다이감마 함수(digamma function)]] |
| − | * [[ | + | :<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>:<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>:<math>\Gamma'(1)=-\gamma</math><br> |
| − | + | * [[크로네커 극한 공식]] | |
| − | + | :<math>E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)</math><br> | |
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%83%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%83%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수] | ||
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50 | ||
| − | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=euler+gamma |
| − | * | + | * The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences |
| − | * | + | ** https://oeis.org/A001620 |
| − | * | + | * Numbers, constants and computation |
| − | * | + | ** http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html |
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2013년 2월 2일 (토) 03:41 판
개요
- 조화수열과 조화급수
- 다음과 같은 극한으로 정의된다
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=\gamma\]
- \(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)
- 적분표현
\[\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt\]
(증명)
아래의 \(\Gamma'(1)=-\gamma\) 참조. ■
오일러 상수가 등장하는 곳
- 리만제타함수의 s=1에서의 로랑급수
\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\]
\[\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]\[\psi(1) = -\gamma\,\!\]\[\Gamma'(1)=-\gamma\]
\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\]
오일러-맥클로린 공식을 이용하여 값 구하기
오일러-맥클로린 공식은 다음과 같이 주어진다
\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)
\(f(x)=\frac{1}{x}\) 에 대하여 적용해보자.
\(\int f(x)\,dx=\ln x\), \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}\)
\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)\)
\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-1)-\frac{1}{12}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{120}(\frac{1}{n^4}-1)+\frac{1}{252}(\frac{1}{n^6}-1)-\frac{1}{240}(\frac{1}{n^8}-1) \cdots\)
여기서 오일러라면(?) 다음식이 참이라고 가정 (사실은 발산하는 급수)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{120}-\frac{1}{252}+\frac{1}{240}+\cdots=\gamma\)
그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하면,
\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n +\frac{1}{2n}+\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252^6}+\frac{1}{240n^8}\)
\(0.5772156649008\cdots=0.5263831609742\cdots+0.05083250392659\cdots\)
참고로 \(\gamma=0.5772156649015\cdots\)
메모
\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) 은 발산하지만 이것과 \(\ln n\) 과의 차는 수렴.
관련된 항목들
사전 참고자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
- http://en.wikipedia.org/wiki/
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=euler+gamma
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation