"드람 코호몰로지"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==개요== | ==개요== | ||
| 25번째 줄: | 17번째 줄: | ||
* n=2 인 경우:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}</math><br>[[각원소 벡터장]] 항목 참조<br> | * n=2 인 경우:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}</math><br>[[각원소 벡터장]] 항목 참조<br> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==드람-호지 이론== | ==드람-호지 이론== | ||
| 35번째 줄: | 22번째 줄: | ||
* $M$ : 리만 다양체, $g$는 메트릭 | * $M$ : 리만 다양체, $g$는 메트릭 | ||
* $A^k(M)$ : smooth $k$-forms on M | * $A^k(M)$ : smooth $k$-forms on M | ||
| − | * | + | * M이 컴팩트이고 유향이면, $A^k(M)$에 다음과 같이 정의되는 내적이 존재한다 |
$$ | $$ | ||
\langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV | \langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV | ||
| 50번째 줄: | 37번째 줄: | ||
* compact complex Kahler 다양체에의 응용 | * compact complex Kahler 다양체에의 응용 | ||
** Hodge structure | ** Hodge structure | ||
| − | |||
| − | |||
| 78번째 줄: | 63번째 줄: | ||
| − | |||
| 86번째 줄: | 70번째 줄: | ||
* [http://www.math.upenn.edu/%7Esiegelch/Notes/Cattani1.pdf http://www.math.upenn.edu/~siegelch/Notes/Cattani1.pdf] | * [http://www.math.upenn.edu/%7Esiegelch/Notes/Cattani1.pdf http://www.math.upenn.edu/~siegelch/Notes/Cattani1.pdf] | ||
* Variations on the de Rham Complex Michael Eastwood http://www.ams.org/notices/199911/fea-eastwood.pdf | * Variations on the de Rham Complex Michael Eastwood http://www.ams.org/notices/199911/fea-eastwood.pdf | ||
| − | |||
| 93번째 줄: | 76번째 줄: | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | + | * [[호몰로지]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 133번째 줄: | 86번째 줄: | ||
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology | * http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2013년 5월 30일 (목) 02:05 판
개요
- 드람 코호몰로지 = closed forms modulo exact forms
- 드람 정리
- 드람 코호몰로지와 싱귤러 호몰로지는 서로 쌍대 관계에 있으며, 이 때의 pairing은 미분형식의 cycle 위에서의 적분으로 주어진다
- (또는) 드람 코호몰로지(해석적인 불변량)와 싱귤러 코호몰로지(위상적 불변량)는 동형이다
- 훗날 sheaf 코호몰로지 이론으로 발전
예
- 한 점이 빠진 유클리드 공간 의 드람 코호몰로지\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^n \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}\]
- n=3 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}\]
역제곱 벡터장 항목 참조 - n=2 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}\]
각원소 벡터장 항목 참조
드람-호지 이론
- finding a canonical representative in a given cohomology class
- $M$ : 리만 다양체, $g$는 메트릭
- $A^k(M)$ : smooth $k$-forms on M
- M이 컴팩트이고 유향이면, $A^k(M)$에 다음과 같이 정의되는 내적이 존재한다
$$ \langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV $$
- 라플라시안
- harmonic forms
- metric independence
- 조화 호지 분해 정리
- compact oriented 리만 다양체 M에 대하여 다음의 직교 분해가 존재한다
$$ A^k(M)=H_{\Delta}^k(M)\oplus dA^{k-1}(M)\oplus d^{*}A^{k+1}(M) $$ 여기서 $H_{\Delta}^k(M)$는 space of harmonic forms
- compact complex Kahler 다양체에의 응용
- Hodge structure
역사
- 1931 드람
- Hodge
- Hodge decomposition
- graduation associated to the so-called "Hodge filtration" on the differential forms of the manifold
- Hodge decomposition
- Delbeault
- cohomology of sheaves of holomorphic forms
- Kodaira
- vanishing theorem
- analytic proof of Lefschetz theorem on hyperplane sections of a projective manifold
- embedding theorem
- Leray
- sheaf cohomology using fine resolutions
- Grothendieck
- sheaf cohomology in algebraic geometry
- Deligne
- existence of a mixed Hodge structure on the cohomology of algebraic varieties
- 미분형식
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사 연표
메모
- http://www.amazon.com/Differential-Forms-Singular-Varieties-Mathematics/dp/0849337399
- http://www.math.upenn.edu/~siegelch/Notes/Cattani1.pdf
- Variations on the de Rham Complex Michael Eastwood http://www.ams.org/notices/199911/fea-eastwood.pdf
관련된 항목들
사전 형태의 자료