"디리클레 단위 정리와 수체의 regulator"의 두 판 사이의 차이
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(정리) 디리클레 class number 공식<br> 실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다. | (정리) 디리클레 class number 공식<br> 실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다. | ||
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| − | <math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}</math> | ||
<math>h_K</math> 는 class number, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>\epsilon_K</math>은 fundamental unit ([[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit|실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]] 참조) | <math>h_K</math> 는 class number, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>\epsilon_K</math>은 fundamental unit ([[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit|실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]] 참조) | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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2013년 3월 26일 (화) 17:47 판
개요
- 수체(number field)K의 대수적정수 \(\mathfrak{O}_K\) unit의 rank 에 대한 정리
- \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\) 인 경우, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 \(r_1+r_2-1\)이다
실 이차수체의 경우
- \([K : \mathbb{Q}] =2\), \(r_1=2, r_2=0\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 1이다
- \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 생성원 \(\epsilon_K\)을 fundamental unit이라 하며 펠 방정식의 해를 구하면 얻어진다
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\]
\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit (실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 참조)
원분체의 예
- 원분체 (cyclotomic field)
- \(K=\mathbb{Q}\left(\zeta _7\right)\)
- \([K : \mathbb{Q}] =6\), \(r_1=0, r_2=3\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 2이다
- fundamental units : \(1+\zeta _7\)와 \(1+\zeta _7+\zeta _7^2\)
- regulator \(R_{K}\)는 2×3행렬\[\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)\]
의 minor를 계산하여 얻을 수 있다 - \(R_K\approx 2.10182\cdots\)
higher regulator
- 데데킨트 제타함수에서 가져옴
\[[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\]\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\]
여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들