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| − | * 베이커의 정리는 다음 [[겔폰드-슈나이더 정리]] 의 일반화로 이해할 수 있다. | + | * 베이커의 정리는 다음 [[겔폰드-슈나이더 정리]] 의 일반화로 이해할 수 있다. |
| − | * 만약 <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha</math>가 어떤 대수적수 <math>\gamma</math>라고 하면, <math>\alpha^{\beta} =\gamma</math>가 성립한다. <br> | + | * <math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}</math> 는 초월수이다.<br> |
| + | * 만약 <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}</math>가 어떤 대수적수 <math>\gamma</math>라고 하면, <math>\alpha^{\beta} =\gamma</math>가 성립한다. <br> | ||
* 양변에 로그를 취하면, <math>{\beta}\log \alpha =\log \gamma</math> 가 되어, <math>\log \alpha</math>와 <math>\log \gamma</math>가 대수적수체 위에서 선형독립이라는 베이커의 정리에 의해 모순을 얻는다. <br> | * 양변에 로그를 취하면, <math>{\beta}\log \alpha =\log \gamma</math> 가 되어, <math>\log \alpha</math>와 <math>\log \gamma</math>가 대수적수체 위에서 선형독립이라는 베이커의 정리에 의해 모순을 얻는다. <br> | ||
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
| − | * [http://www.amazon.com/Transcendental-Number-Cambridge-Mathematical-Library/dp/052139791X Transcendental Number Theory] | + | * Alan Baker [http://www.amazon.com/Transcendental-Number-Cambridge-Mathematical-Library/dp/052139791X Transcendental Number Theory], Cambridge University Press, 1975<br> |
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2013년 3월 8일 (금) 15:23 판
개요
- 겔폰드-슈나이더 정리의 일반화
베이커의 정리
버전1
0이 아닌 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여 \(\log \alpha_1,\cdots,\log \alpha_n\)이 유리수체 위에서 선형독립이라고 가정하자.
그러면 \(1, \log \alpha_1,\cdots,\log \alpha_n\)은 대수적수체 위에서 선형독립이다.
버전2
0이 아닌 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)와 대수적수 \(\beta_0,\cdots, \beta_n\)에 대하여, \(\sum_{m=1}^{n}\beta_m\log \alpha_m\) 는 0 또는 초월수이다.
겔폰드-슈나이더 정리와의 관계
- 베이커의 정리는 다음 겔폰드-슈나이더 정리 의 일반화로 이해할 수 있다.
- \(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\) 는 초월수이다.
- 만약 \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\)가 어떤 대수적수 \(\gamma\)라고 하면, \(\alpha^{\beta} =\gamma\)가 성립한다.
- 양변에 로그를 취하면, \({\beta}\log \alpha =\log \gamma\) 가 되어, \(\log \alpha\)와 \(\log \gamma\)가 대수적수체 위에서 선형독립이라는 베이커의 정리에 의해 모순을 얻는다.
역사
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=alan+baker+theorem
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=gelfond+baker+generalization
- 1966-67년 앨런 베이커에 의해 증명
- 1970년 필즈메달 수상
- 수학사 연표
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Baker's_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Alan_Baker_(mathematician)
관련도서
- Alan Baker Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975