"타니야마-시무라 추측(정리)"의 두 판 사이의 차이

2013년 3월 14일 (목) 06:56 판

개요

유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계
페르마의 마지막 정리의 증명에 사용

Weil의 역 정리

예1. 타원곡선 \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)

타원곡선\[E: y^2=x^3-4x^2+16\]
conductor = 11
유리수체 위의 해의 개수

\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty)\}\] \[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\] \[a_p=p+1-M_p\]

모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)& ={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2\\ {}& =\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots \end{aligned} \]

다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 각각 위에서 정의한 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음

\[\begin{array}{c|c|c} p & {a_p} & c_p \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & -2 & -2 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 4 & 4 \\ 17 & -2 & -2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & -1 & -1 \\ 29 & 0 & 0 \\ 31 & 7 & 7 \\ 37 & 3 & 3 \\ 41 & -8 & -8 \\ 43 & -6 & -6 \\ 47 & 8 & 8 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 5 & 5 \\ 61 & 12 & 12 \\ 67 & -7 & -7 \\ 71 & -3 & -3 \end{array} \]

예2. 타원곡선 \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)

타원곡선\[E: y^2=x^3+x^2+4x+4\]
conductor = 20
유리수체 위의 해의 개수

\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty)\}\] \[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\] \[a_p=p+1-M_p\]

모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)& ={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots \end{aligned} \]<

다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음

\[ \begin{array}{c|c|c} p & a_p & c_p \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 7 & 2 & 2 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 2 & 2 \\ 17 & -6 & -6 \\ 19 & -4 & -4 \\ 23 & 6 & 6 \\ 29 & 6 & 6 \\ 31 & -4 & -4 \\ 37 & 2 & 2 \\ 41 & 6 & 6 \\ 43 & -10 & -10 \\ 47 & -6 & -6 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 12 & 12 \\ 61 & 2 & 2 \\ 67 & 2 & 2 \\ 71 & -12 & -12 \end{array} \]

예3

타원곡선 \[y^2=x^3-x\]
모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots \end{aligned} \]

타원곡선 y²=x³-x 항목 참조

푸리에계수

modularity theorem

there exists a finite morphism \(f:X_ 0(N)\to E\) over \mathbb{Q}
where \(X_ 0(N)\) is the modular curve

역사

수학사 연표

메모

every elliptic curve over the rational field can be found in the Jacobian variety of the curve which parametrizes elliptic curves with level structure its conductor

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZWJhMzExOTYtNGM3Yi00ZWU1LWI2MmYtZGZiNzQ1M2JlYTRm&sort=name&layout=list&num=50

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 *  유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계<br>
+* [[페르마의 마지막 정리]]의 증명에 사용
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 ==Weil의 역 정리==
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 *  타원곡선:<math>E: y^2=x^3-4x^2+16</math><br> conductor = 11<br>
-*  유리수체 위의 해의 개수:<math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty)\}</math>:<math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math> ::<math>a_p=p+1-M_p</math><br>
+*  유리수체 위의 해의 개수
-* [[모듈라 형식(modular forms)|모듈라 형식]]:<math>f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }-   2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots</math><br>
+:<math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty)\}</math>
-*  다음 표는 소수 <math>p</math>에 대하여 각각 위에서 정의한 <math>p,a_p,c_p</math> 를 나타냄. <math>a_p=c_p</math> 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음:<math>\begin{array}{ccc}   p & {a_p} & c_p \\  2 & -1 & -2 \\  3 & -1 & -1 \\  5 & 1 & 1 \\  7 & -2 & -2 \\  11 & 1 & 1 \\  13 & 4 & 4 \\  17 & -2 & -2 \\  19 & 0 & 0 \\  23 & -1 & -1 \\  29 & 0 & 0 \\  31 & 7 & 7 \\  37 & 3 & 3 \\  41 & -8 & -8 \\  43 & -6 & -6 \\  47 & 8 & 8 \\  53 & -6 & -6 \\  59 & 5 & 5 \\  61 & 12 & 12 \\  67 & -7 & -7 \\  71 & -3 & -3 \end{array} </math><br>
+:<math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math>
+:<math>a_p=p+1-M_p</math><br>
+* [[모듈라 형식(modular forms)|모듈라 형식]]
+:<math>
+\begin{aligned}
+f(\tau)& ={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2\\
+{}& =\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }-   2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots
+\end{aligned}
+</math>
+*  다음 표는 소수 <math>p</math>에 대하여 각각 위에서 정의한 <math>p,a_p,c_p</math> 를 나타냄. <math>a_p=c_p</math> 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음
+:<math>\begin{array}{c|c|c}   p & {a_p} & c_p \\  2 & -1 & -2 \\  3 & -1 & -1 \\  5 & 1 & 1 \\  7 & -2 & -2 \\  11 & 1 & 1 \\  13 & 4 & 4 \\  17 & -2 & -2 \\  19 & 0 & 0 \\  23 & -1 & -1 \\  29 & 0 & 0 \\  31 & 7 & 7 \\  37 & 3 & 3 \\  41 & -8 & -8 \\  43 & -6 & -6 \\  47 & 8 & 8 \\  53 & -6 & -6 \\  59 & 5 & 5 \\  61 & 12 & 12 \\  67 & -7 & -7 \\  71 & -3 & -3 \end{array} </math><br>
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 *  타원곡선:<math>E: y^2=x^3+x^2+4x+4</math><br> conductor = 20<br>
-*  유리수체 위의 해의 개수:<math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty)\}</math>:<math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math>:<math>a_p=p+1-M_p</math><br>
+*  유리수체 위의 해의 개수
-* [[모듈라 형식(modular forms)|모듈라 형식]]:<math>f(\tau)={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }-   4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots</math><br>
+:<math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty)\}</math>
-*  다음 표는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>p,a_p,c_p</math> 를 나타냄. <math>a_p=c_p</math> 임을 볼 수 있음:<math> \begin{array}{ccc}  p & a_p & c_p \\  2 & 0 & 0 \\  3 & -2 & -2 \\  5 & -1 & -1 \\  7 & 2 & 2 \\  11 & 0 & 0 \\  13 & 2 & 2 \\  17 & -6 & -6 \\  19 & -4 & -4 \\  23 & 6 & 6 \\  29 & 6 & 6 \\  31 & -4 & -4 \\  37 & 2 & 2 \\  41 & 6 & 6 \\  43 & -10 & -10 \\  47 & -6 & -6 \\  53 & -6 & -6 \\  59 & 12 & 12 \\  61 & 2 & 2 \\  67 & 2 & 2 \\  71 & -12 & -12 \end{array} </math><br>
+:<math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math>
+:<math>a_p=p+1-M_p</math><br>
+* [[모듈라 형식(modular forms)|모듈라 형식]]
+:<math>
+\begin{aligned}
+f(\tau)& ={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2\\
+{}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }-   4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots
+\end{aligned}
+</math><
+*  다음 표는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>p,a_p,c_p</math> 를 나타냄. <math>a_p=c_p</math> 임을 볼 수 있음
+:<math> \begin{array}{c|c|c}  p & a_p & c_p \\  2 & 0 & 0 \\  3 & -2 & -2 \\  5 & -1 & -1 \\  7 & 2 & 2 \\  11 & 0 & 0 \\  13 & 2 & 2 \\  17 & -6 & -6 \\  19 & -4 & -4 \\  23 & 6 & 6 \\  29 & 6 & 6 \\  31 & -4 & -4 \\  37 & 2 & 2 \\  41 & 6 & 6 \\  43 & -10 & -10 \\  47 & -6 & -6 \\  53 & -6 & -6 \\  59 & 12 & 12 \\  61 & 2 & 2 \\  67 & 2 & 2 \\  71 & -12 & -12 \end{array} </math><br>
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 *  타원곡선 :<math>y^2=x^3-x</math><br>
-*  모듈라 형식:<math>f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots</math><br>
+*  모듈라 형식
+:<math>
+\begin{aligned}
+f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\
+{}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots
+\end{aligned}
+</math><br>
-* [[타원곡선 y\.b2=x\.b3-x|타원곡선 y^2=x^3-x]] 항목 참조<br>
+* [[타원곡선 y²=x³-x]] 항목 참조<br>
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 ==관련된 항목들==
+* [[페르마의 마지막 정리]]
-* [[페르마의 마지막 정리]]<br>
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 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZWJhMzExOTYtNGM3Yi00ZWU1LWI2MmYtZGZiNzQ1M2JlYTRm&sort=name&layout=list&num=50
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* http://functions.wolfram.com/
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
-* [[매스매티카 파일 목록]]
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 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Taniyama-Shimura-Weil_conjecture
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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 * [http://jlms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/s1-43/1/57.pdf How the number of points of an elliptic curve over a fixed prime field varies]<br>
 ** B. J. Birch, J. Lond. Math. Soc. 43 (1968), pp. 57--60
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://dx.doi.org/
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 * Algorithms for modular elliptic curves, J. E. Cremona
-==블로그==
-*  구글 블로그 검색<br>
-** [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%ED%83%80%EB%8B%88%EC%95%BC%EB%A7%88-%EC%8B%9C%EB%AC%B4%EB%9D%BC http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=타니야마-시무라]

"타니야마-시무라 추측(정리)"의 두 판 사이의 차이

2013년 3월 14일 (목) 06:56 판

목차

개요

Weil의 역 정리

예1. 타원곡선 \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)

예2. 타원곡선 \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)

예3

푸리에계수

modularity theorem

역사

메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

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