"하이젠베르크 군과 대수"의 두 판 사이의 차이
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* 다음과 같은 교환 관계식을 만족한다:<math>[\left( | * 다음과 같은 교환 관계식을 만족한다:<math>[\left( | ||
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| + | * $\mathbb{H}$의 원소는 다음과 같은 형태로 주어진다 | ||
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| + | * $\mathbb{H}$의 원소를 $(p,q,c)\in \mathfrak{h}$로 나타내면, $\mathbb{H}$에서의 곱셈은 다음과 같이 주어지게 된다 | ||
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| + | (p,q,c)(p',q',c')=(p+p',q+q',c+c'+\frac{1}{2}(pq'-qp')) | ||
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| + | * 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식 (Baker-Campbell-Hausdorff formula)을 이용하여 얻을 수 있다 | ||
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* spin vs metaplectic | * spin vs metaplectic | ||
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
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* [[클리포드 대수와 스피너]] | * [[클리포드 대수와 스피너]] | ||
* [[양자 바일 대수와 양자평면]] | * [[양자 바일 대수와 양자평면]] | ||
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2013년 2월 25일 (월) 12:50 판
개요
- 양자 조화진동자\[[X,P] = X P - P X = i \hbar\]
유한차원 하이젠베르크 대수
- 가환 리대수의 1차원 중심 확대(central extension)
- \([p_i, q_j] = \delta_{ij}z\)
- \([p_i, z] = 0\)
- \([q_j, z] = 0\)
3차원 하이젠베르크 군과 대수의 예
하이젠베르크 대수
- 위삼각행렬(upper triangular matrix) \(\left( \begin{array}{ccc} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)를 3차원 하이젠베르크 대수 $\mathfrak{h}$의 원소\(pP+qQ+cC\)로 이해할 수 있다
- 다음과 같은 교환 관계식을 만족한다\[[\left( \begin{array}{ccc} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc} 0 & p' & c' \\ 0 & 0 & q' \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)]=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & p q'-q p' \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]
하이젠베르크 군
- 지수함수를 이용하여, 하이젠베르크 군 $\mathbb{H}$을 정의할 수 있다
$$\exp:\mathfrak{h} \to \mathbb{H}$$
- $\mathbb{H}$의 원소는 다음과 같은 형태로 주어진다
$$ \exp \begin{pmatrix} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =\exp(pP+qQ+cC) $$
- $\mathbb{H}$의 원소를 $(p,q,c)\in \mathfrak{h}$로 나타내면, $\mathbb{H}$에서의 곱셈은 다음과 같이 주어지게 된다
$$ (p,q,c)(p',q',c')=(p+p',q+q',c+c'+\frac{1}{2}(pq'-qp')) $$
- 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식 (Baker-Campbell-Hausdorff formula)을 이용하여 얻을 수 있다
역사
메모
- http://djalil.chafai.net/blog/2011/10/08/aspects-of-the-heisenberg-group/
- spin vs metaplectic
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- central - 대한수학회 수학용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=central
- central extension 중심 확대
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Peter Woit의 강의 노트