실계수 대칭행렬의 대각화

개요

• 실계수 대칭행렬의 spectral 정리
• 실계수 이차형식의 분류
• 이차곡선과 회전변환
• 대칭행렬은 실수계수 에르미트 행렬이다 (에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화 항목 참조)

spectral 정리

• \(n\times n\) 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
  
  • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
  • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
  • 행렬 A는 직교대각화 가능하다

실계수 이차형식의 분류

• \(n\times n\) 대칭행렬 A로부터 이차형식 \(Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}\) 를 얻을 수 있다
• 실계수 이차형식을 크게 다음과 같이 분류한다
  
  • 양의 정부호(positive definite) 모든 \(\mathbf{x}\neq 0\)에 대하여 \(Q(\mathbf{x})>0\)가 성립
  • 음의 정부호(negative definite) 모든 \(\mathbf{x}\neq 0\)에 대하여 \(Q(\mathbf{x})<0\)가 성립
  • indefinite \(Q(\mathbf{x})\)가 양수값, 음수값을 모두 가질 수 있는 경우
• 이차형식

예

\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 된다. P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\)

예

\(A=\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)\)

판별식 함수

• $b^2-ac$는 이차형식으로, 다음의 대칭행렬에 대응된다

$$ A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

\(P=\left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)\)

이차형식으로서의 행렬식

• $2\times 2$ 행렬의 행렬식 $ad-bc$를 이차형식으로 생각할 때, 이는 다음 대칭행렬에 대응된다

$$ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

• 이를 대각화하면 다음을 얻는다

$$ \left( \begin{array}{cccc} -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right) $$

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 다항식의 판별식(discriminant)
• 에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화
• 이차곡선과 회전변환
• 이차형식
• 헤세 판정법
• 완전제곱식 만들기

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT2gybGJBS1lOU0k/edit

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://ko.wikipedia.org/wiki/대칭행렬
• Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations