"타원 모듈라 j-함수의 singular moduli"의 두 판 사이의 차이
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* <math>d_1, d_ 2</math>가 서로 다른 두 복소이차수체 <math>K_1, K_2</math>의 판별식이라 하자. | * <math>d_1, d_ 2</math>가 서로 다른 두 복소이차수체 <math>K_1, K_2</math>의 판별식이라 하자. | ||
* <math>J(d_ 1,d_ 2)</math>를 <math>\prod_{}\left(j(\alpha_1)-j(\alpha_2)\right)^{\frac{4}{w_1 w_2}}</math> 로 정의하자. 여기서 <math>\alpha_1, \alpha_2</math> 는 각각 $K_1$, $K_2$ 의 ideal class의 representatives | * <math>J(d_ 1,d_ 2)</math>를 <math>\prod_{}\left(j(\alpha_1)-j(\alpha_2)\right)^{\frac{4}{w_1 w_2}}</math> 로 정의하자. 여기서 <math>\alpha_1, \alpha_2</math> 는 각각 $K_1$, $K_2$ 의 ideal class의 representatives | ||
| − | * (정리)[Gross-Zagier] :<math>J (d_ 1,d_ 2)^2=\prod_{\substack{x,n,n'\in \mathbb{Z}, \\ x^2+4nn'=d_ 1d_ 2, \\ n,n'>0}}n^{\epsilon(n')}</math | + | * (정리)[Gross-Zagier] :<math>J (d_ 1,d_ 2)^2=\prod_{\substack{x,n,n'\in \mathbb{Z}, \\ x^2+4nn'=d_ 1d_ 2, \\ n,n'>0}}n^{\epsilon(n')}</math> |
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxU3MtUWtoTS1kaW8/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxU3MtUWtoTS1kaW8/edit | ||
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* Howard, Benjamin, and Tonghai Yang. 2012. “Singular Moduli Refined.” arXiv:1202.6410 (February 28). http://arxiv.org/abs/1202.6410. | * Howard, Benjamin, and Tonghai Yang. 2012. “Singular Moduli Refined.” arXiv:1202.6410 (February 28). http://arxiv.org/abs/1202.6410. | ||
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662 On singular moduli.] Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355 (1984), 191-220 | * [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662 On singular moduli.] Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355 (1984), 191-220 | ||
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2013년 6월 8일 (토) 00:57 판
개요
- 타원 모듈라 j-함수의 quadratic imaginary number 에서의 값들
- 중요한 결과로 Gross-Zagier 공식이 있음
예
\( j(\sqrt{-1})=1728=12^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2})=0\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-7}}{2})=-3375=-15^3\)
\( j(\sqrt{-2})=8000=20^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-11}}{2})=-32768=-32^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-19}}{2})=-884736=-96^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-43}} {2})=-884736000=-960^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-67}} {2})=-147197952000=-5280^3\)
\( j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\)
\( j(\sqrt{-3})=54000=2(30)^3\)
\( j(\sqrt{-4})=287496=(66)^3\)
\( j(\sqrt{-7})=16581375=(255)^3\)
\(j(\frac {-1+3\sqrt{-3}}{2})=-12288000=-3(160)^3\)
\( j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3\)
Gross-Zagier 공식
- \(d_1, d_ 2\)가 서로 다른 두 복소이차수체 \(K_1, K_2\)의 판별식이라 하자.
- \(J(d_ 1,d_ 2)\)를 \(\prod_{}\left(j(\alpha_1)-j(\alpha_2)\right)^{\frac{4}{w_1 w_2}}\) 로 정의하자. 여기서 \(\alpha_1, \alpha_2\) 는 각각 $K_1$, $K_2$ 의 ideal class의 representatives
- (정리)[Gross-Zagier] \[J (d_ 1,d_ 2)^2=\prod_{\substack{x,n,n'\in \mathbb{Z}, \\ x^2+4nn'=d_ 1d_ 2, \\ n,n'>0}}n^{\epsilon(n')}\]
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Howard, Benjamin, and Tonghai Yang. 2012. “Singular Moduli Refined.” arXiv:1202.6410 (February 28). http://arxiv.org/abs/1202.6410.
- On singular moduli. Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355 (1984), 191-220