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| + | * \ref{eq2}의 모든 정수해는 <math>(x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다. '''[DP2009]''' | ||
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x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y² | x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y² | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice | * http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice | ||
* http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html | * http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
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** Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740, | ** Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740, | ||
| − | * [http://www.ams.org/mcom/2006-75-255/S0025-5718-06-01841-2/home.html Practical solution of the Diophantine equation $ y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)$] | + | * [http://www.ams.org/mcom/2006-75-255/S0025-5718-06-01841-2/home.html Practical solution of the Diophantine equation $ y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)$] |
| − | ** Konstantinos Draziotis; Dimitrios Poulakis, Math. Comp. 75 (2006), 1585-1593. | + | ** Konstantinos Draziotis; Dimitrios Poulakis, Math. Comp. 75 (2006), 1585-1593. |
| − | * [http://www.math.ubc.ca/%7Ebennett/paper21.pdf Lucas' Square Pyramid Problem Revisited] | + | * [http://www.math.ubc.ca/%7Ebennett/paper21.pdf Lucas' Square Pyramid Problem Revisited] |
** Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002 | ** Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002 | ||
| − | * [http://www.mathstat.uottawa.ca/%7Egwalsh/benwal1.pdf The Diophantine equation $b^2X^4-dY^2=1$] | + | * [http://www.mathstat.uottawa.ca/%7Egwalsh/benwal1.pdf The Diophantine equation $b^2X^4-dY^2=1$] |
** M. A. Bennett and P. G. Walsh, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 3481-3491 | ** M. A. Bennett and P. G. Walsh, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 3481-3491 | ||
| − | * [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa78/aa7847.pdf The Diophantine equation x4− Dy2= 1 II] | + | * [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa78/aa7847.pdf The Diophantine equation x4− Dy2= 1 II] |
** J.H.E Cohn, Acta Arith, 1997 | ** J.H.E Cohn, Acta Arith, 1997 | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2323911 The Square Pyramid Puzzle] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2323911 The Square Pyramid Puzzle] |
| − | ** W. S. Anglin, | + | ** W. S. Anglin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124 |
| − | * [http://qjmath.oxfordjournals.org/cgi/reprint/26/1/279.pdf THE DIOPHANTINE EQUATION x. 4. -Dy. 2. = 1.] | + | * [http://qjmath.oxfordjournals.org/cgi/reprint/26/1/279.pdf THE DIOPHANTINE EQUATION x. 4. -Dy. 2. = 1.] |
** J.H.E Cohn, Quart. J. Math. Oxford (3),J26 (1975), 279-281 | ** J.H.E Cohn, Quart. J. Math. Oxford (3),J26 (1975), 279-281 | ||
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==블로그== | ==블로그== | ||
* [http://smbseminar.wordpress.com/2009/01/11/%EC%82%AC%EA%B0%81-%ED%94%BC%EB%9D%BC%EB%AF%B8%EB%93%9C-%ED%8D%BC%EC%A6%901/ 사각 피라미드 퍼즐(1)] Secret Math Blog, 2009-1 | * [http://smbseminar.wordpress.com/2009/01/11/%EC%82%AC%EA%B0%81-%ED%94%BC%EB%9D%BC%EB%AF%B8%EB%93%9C-%ED%8D%BC%EC%A6%901/ 사각 피라미드 퍼즐(1)] Secret Math Blog, 2009-1 | ||
| − | * [http://wiessen.tistory.com/269 The Square Pyramid Puzzle] | + | * [http://wiessen.tistory.com/269 The Square Pyramid Puzzle] |
** Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8 | ** Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8 | ||
2014년 1월 2일 (목) 20:05 판
개요
- 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?
- 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
- Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
- 다음 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
\[y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} \label{eq}\]
티오판투스 방정식
- 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다
\[1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\]
- 거듭제곱의 합을 구하는 공식이 사용되었다
- 답은 두 쌍이 존재\[(n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)\]
다른 정수계수 타원곡선으로의 변형
- \(y^2=x^3-36x\) 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
- \ref{eq}에서 \(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 로 치환하면, 다음을 얻는다.
\[y_1^2=x_1^3-36x_1 \label{eq2}\]
- \ref{eq}의 정수해는 위의 치환에 의해 \ref{eq2}의 정수해에 대응되므로, \ref{eq2}의 정수해를 모두 찾으면 된다.
- \ref{eq2}의 모든 정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [DP2009]
- 이 중에서 \(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\)
- 위에서 찾은 정수해는 타원곡선\(y^2=x^3-36x\)의 rank가 1이상임을 증명한다
- 이는 또한 6이 합동수 임을 증명한다
부분적인 풀이
서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자. x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)
x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²
x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²
세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.
x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²
3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.
메모
- 24차원의 리치 격자는, 26차원 even unimodular 격자 \(II_{25,1}\)의 길이 0인 벡터 \((0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)\)을 사용하여 구성할 수 있다
관련된 고교수학
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
- http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html
관련논문
- [DP2009]Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)
- Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740,
- Practical solution of the Diophantine equation $ y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)$
- Konstantinos Draziotis; Dimitrios Poulakis, Math. Comp. 75 (2006), 1585-1593.
- Lucas' Square Pyramid Problem Revisited
- Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002
- The Diophantine equation $b^2X^4-dY^2=1$
- M. A. Bennett and P. G. Walsh, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 3481-3491
- The Diophantine equation x4− Dy2= 1 II
- J.H.E Cohn, Acta Arith, 1997
- The Square Pyramid Puzzle
- W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
- THE DIOPHANTINE EQUATION x. 4. -Dy. 2. = 1.
- J.H.E Cohn, Quart. J. Math. Oxford (3),J26 (1975), 279-281
블로그
- 사각 피라미드 퍼즐(1) Secret Math Blog, 2009-1
- The Square Pyramid Puzzle
- Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8