"캐츠-무디 대수 (Kac-Moody algebra)"의 두 판 사이의 차이
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* <math>P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})</math> : dual weight lattice | * <math>P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})</math> : dual weight lattice | ||
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* <math>\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}</math> : simple coroots | * <math>\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}</math> : simple coroots | ||
* <math>\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_{ji}\}</math> : simple roots | * <math>\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_{ji}\}</math> : simple roots | ||
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| − | + | * fundamental weights <math>\{\Lambda_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \Lambda_{i}(h_j)=\delta_{ij},\Lambda_{i}(d_j)=0\}</math> | |
| − | + | * <math>Q=\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}\alpha_{i}</math> : root lattice | |
| − | fundamental weights | + | * Weyl group <math>W=\langle r_{i}|i\in I\rangle</math> |
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| − | <math>\{\Lambda_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \Lambda_{i}(h_j)=\delta_{ij},\Lambda_{i}(d_j)=0\}</math> | ||
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| − | <math>Q=\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}\alpha_{i}</math> : root lattice | ||
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| − | Weyl group <math>W=\langle r_{i}|i\in I\rangle</math> | ||
2015년 3월 10일 (화) 20:32 판
개요
- 유한차원 simple 리대수의 확장
- 카르탄 데이터와 세르 관계식 (Serre relations) 을 이용하여 정의
- 무한 차원 리대수
- 세 가지 타입으로 분류
- finite type
- affine type
- indefinite type
- 수학과 물리학의 여러 분야에서는 finite type, affine type의 캐츠-무디 대수가 중요한 역할을 한다
Cartan datum
Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
- \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) GCM
- \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
- \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
- \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
- \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
- \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_{ji}\}\) : simple roots
key concepts
- fundamental weights \(\{\Lambda_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \Lambda_{i}(h_j)=\delta_{ij},\Lambda_{i}(d_j)=0\}\)
- \(Q=\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}\alpha_{i}\) : root lattice
- Weyl group \(W=\langle r_{i}|i\in I\rangle\)
캐츠-무디 대수의 세르 관계식
- 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(h\in \mathfrak{h}\)
- 세르 관계식
- \(\left[h,h'\right]=0\)
- \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
- \(\left[h,e_j\right]=\alpha_{j}(h)e_j\)
- \(\left[h,f_j\right]=-\alpha_{j}(h)f_j\)
- \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
- \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
- 세르 관계식 (Serre relations)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- Kac - 발음사전 Forvo