"파이 π는 무리수이다"의 두 판 사이의 차이
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다음을 만족시키는 정수 <math>a_0,a_1,\cdots,a_{n}</math> 이 존재한다. | 다음을 만족시키는 정수 <math>a_0,a_1,\cdots,a_{n}</math> 이 존재한다. | ||
| − | + | :<math>\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}</math> | |
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다음 점화식이 성립한다. | 다음 점화식이 성립한다. | ||
| − | + | :<math>y_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{n(n-1)}{\pi^2}y_{n-2},n\geq 2,y_0=\frac{2}{\pi},y_1=\frac{1}{\pi}.</math> | |
| − | <math>y_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{n(n-1)}{\pi^2}y_{n-2} | ||
수학적귀납법에 의해 보조정리가 증명된다. ■ | 수학적귀납법에 의해 보조정리가 증명된다. ■ | ||
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| − | + | ===보조정리 2=== | |
<math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다. | <math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다. | ||
| − | + | :<math>\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx.</math> | |
| − | <math>\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx</math> | ||
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| + | ===보조정리 3=== | ||
| − | + | 다음을 만족시키는 정수 <math>a_0,a_1,\cdots,a_{n}</math> 이 존재한다 | |
| + | :<math>\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}</math> | ||
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| − | + | <math>P_{n}(x)</math>는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, '''보조정리 1''' 에 의하여 증명된다. ■ | |
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이제 π는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자. | 이제 π는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자. | ||
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'''보조정리 3'''에 의하여, | '''보조정리 3'''에 의하여, | ||
| − | <math>I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{b(a_na^{n}+a_{n-1}ba^{n-1}+\cdots+a_0b^{n})}{a^{n+1}}</math> | + | :<math>I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{b(a_na^{n}+a_{n-1}ba^{n-1}+\cdots+a_0b^{n})}{a^{n+1}}</math> |
는 0이 아닌 유리수가 된다. 따라서 <math>a^{n+1}I_{n}</math> 는 자연수이다. | 는 0이 아닌 유리수가 된다. 따라서 <math>a^{n+1}I_{n}</math> 는 자연수이다. | ||
'''보조정리 2'''에 의하여, | '''보조정리 2'''에 의하여, | ||
| − | + | :<math>0<|a^{n+1}I_{n}|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|</math> | |
| − | <math>0<|a^{n+1}I_{n}|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|</math> | ||
구간 <math>[0,1]</math>에서 <math>x(1-x)</math>의 최대값은 <math>1/4</math>이므로, | 구간 <math>[0,1]</math>에서 <math>x(1-x)</math>의 최대값은 <math>1/4</math>이므로, | ||
| − | + | :<math>|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}\frac{\pi^{n}}{4^n}|=|\frac{a}{n!}(\frac{a\pi}{4})^n|</math> 이다. | |
| − | <math>|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}\frac{\pi^{n}}{4^n}|=|\frac{a}{n!}(\frac{a\pi}{4})^n|</math> 이다. | ||
n이 커지면 우변은 0으로 수렴한다. | n이 커지면 우변은 0으로 수렴한다. | ||
따라서 <math>a^{n+1}I_{n}</math> 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■ | 따라서 <math>a^{n+1}I_{n}</math> 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■ | ||
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==역사== | ==역사== | ||
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* [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br> | * [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br> | ||
** Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509. | ** Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509. | ||
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==블로그== | ==블로그== | ||
| − | * | + | * [http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/%CF%80%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%84%B1-%EC%A6%9D%EB%AA%85/ http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/π원주율의-무리수성-증명/] 내 백과사전, 2010-3-7 |
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[[분류:원주율]] | [[분류:원주율]] | ||
2013년 4월 5일 (금) 16:53 판
개요
- 파이가 무리수임의 증명
- [Huylebrouck2001]참조
증명
관찰
\(\int_0^1 \sin \pi x\,dx = \frac{2}{\pi}\)
\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)
\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
보조정리 1
다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n}\) 이 존재한다. \[\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\]
(증명)
\(y_{n}=\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx\) 라 두자.
다음 점화식이 성립한다. \[y_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{n(n-1)}{\pi^2}y_{n-2},n\geq 2,y_0=\frac{2}{\pi},y_1=\frac{1}{\pi}.\]
수학적귀납법에 의해 보조정리가 증명된다. ■
정의
르장드르 다항식 의 변형, \(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\) 을 정의하자.
예 \begin{array}{l} 1 \\ -2 x+1 \\ 6 x^2-6 x+1 \\ -20 x^3+30 x^2-12 x+1 \\ 70 x^4-140 x^3+90 x^2-20 x+1 \\ -252 x^5+630 x^4-560 x^3+210 x^2-30 x+1 \\ 924 x^6-2772 x^5+3150 x^4-1680 x^3+420 x^2-42 x+1 \\ -3432 x^7+12012 x^6-16632 x^5+11550 x^4-4200 x^3+756 x^2-56 x+1 \end{array}
보조정리 2
\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx.\]
(증명)
부분적분. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 의 보조정리4 참조. ■
보조정리 3
다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n}\) 이 존재한다 \[\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\] (증명)
\(P_{n}(x)\)는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, 보조정리 1 에 의하여 증명된다. ■
귀류법을 통한 증명의 마무리
이제 π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자.
보조정리 3에 의하여,
\[I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{b(a_na^{n}+a_{n-1}ba^{n-1}+\cdots+a_0b^{n})}{a^{n+1}}\]
는 0이 아닌 유리수가 된다. 따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수이다.
보조정리 2에 의하여, \[0<|a^{n+1}I_{n}|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\]
구간 \([0,1]\)에서 \(x(1-x)\)의 최대값은 \(1/4\)이므로, \[|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}\frac{\pi^{n}}{4^n}|=|\frac{a}{n!}(\frac{a\pi}{4})^n|\] 이다.
n이 커지면 우변은 0으로 수렴한다.
따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■
역사
- 1761 - 람베르트가 파이 π는 무리수 임을 증명
- 1882 - 린데만이 파이는 초월수임을 증명하고 따라서 원이 자와 컴파스로 작도 불가능함을 증명
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사 연표
메모
- 같은 아이디어를 사용하여 ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)를 증명할 수 있다
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_π_is_irrational
- http://planetmath.org/encyclopedia/PiAndPi2AreIrrational.html
관련논문
- [Huylebrouck2001]Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
- On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi
- M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
- A simple proof that $\pi$ is irrational
- Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
블로그
- http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/π원주율의-무리수성-증명/ 내 백과사전, 2010-3-7