"삼각함수의 무한곱 표현"의 두 판 사이의 차이

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* [[감마함수]] 의 다음 공식을 보이는데 응용할 수 있다  
 
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:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math>
 
:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math>
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* \ref{sinpro}가 $x=1/2$일 때, [[월리스 곱 (Wallis product formula)]]을 얻는다
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* \ref{sinpro}가 <math>x=1/2</math>일 때, [[월리스 곱 (Wallis product formula)]]을 얻는다
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$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}$$
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:<math>\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}</math>
  
 
 
 
 

2020년 11월 16일 (월) 05:03 판

개요

  • 사인함수의 무한곱표현

\[\frac{ \sin{x}}{x} = \left(1-\frac{x^2}{\pi ^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{4 \pi ^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{9 \pi ^2}\right) \cdots =\prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)\] 또는 \[\sin{\pi x} = \pi x \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\label{sinpro}\]


응용

  • 감마함수 의 다음 공식을 보이는데 응용할 수 있다

\[\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\]

\[\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}\]

 

사인의 무한곱

\(\sin{\pi z} = \pi z \prod _{n\neq 0}^{} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n}\)

 

 

역사

 

 

메모

 

 

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