"분할의 rank와 crank"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
3번째 줄: 3번째 줄:
 
* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)]]에 대한 발견
 
* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)]]에 대한 발견
 
* [[분할수가 만족시키는 합동식]]
 
* [[분할수가 만족시키는 합동식]]
−
:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>:<math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math>:<math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br>
+
:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>:<math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math>:<math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math>
 
* 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
 
* 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
 
* 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전
 
* 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전
14번째 줄: 14번째 줄:
  
 
* 9의 분할에는 30개가 있다
 
* 9의 분할에는 30개가 있다
−
*  각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다<br>
+
*  각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다
 
** 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
 
** 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
−
*  이에 mod 5를 취하면,<br>
+
*  이에 mod 5를 취하면,
 
** 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
 
** 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
 
* 0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
 
* 0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
28번째 줄: 28번째 줄:
  
 
* 분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
 
* 분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
−
*  예<br>
+
*  예
 
** 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
 
** 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
 
** 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
 
** 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
−
*  분할의 crank<br>
+
*  분할의 crank
 
** 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
 
** 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
 
** 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
 
** 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
−
*  예<br>
+
*  예
 
** 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
 
** 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
 
** 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
 
** 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
−
*  9의 분할수 = 30<br>
+
*  9의 분할수 = 30
−
**  분할<br> {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5,   4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}<br>
+
**  분할 {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5,   4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
−
**  rank<br> {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8}<br> 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다<br>
+
**  rank {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
−
**  crank<br> {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9}<br> 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다<br>
+
**  crank {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
 
* [[자연수의 분할(partition)과 rank/crank 목록|자연수의 분할(partition)과 rank 목록]]
 
* [[자연수의 분할(partition)과 rank/crank 목록|자연수의 분할(partition)과 rank 목록]]
  
82번째 줄: 82번째 줄:
 
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
  
94번째 줄: 94번째 줄:
 
==관련논문==
 
==관련논문==
  
−
* [http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0493-5 The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks]<br>
+
* [http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0493-5 The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks]
 
** Kathrin Bringmann and Ken Ono, Inventiones Mathematicae Volume 165, Number 2, 2006
 
** Kathrin Bringmann and Ken Ono, Inventiones Mathematicae Volume 165, Number 2, 2006
−
* [http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0507844102 Ramanujan's congruences and Dyson's crank]<br>
+
* [http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0507844102 Ramanujan's congruences and Dyson's crank]
 
** George E. Andrews and Ken Ono, PNAS October 25, 2005 vol. 102 no. 43 15277
 
** George E. Andrews and Ken Ono, PNAS October 25, 2005 vol. 102 no. 43 15277
−
* [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183554533 Dyson's crank of a partition]<br>
+
* [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183554533 Dyson's crank of a partition]
 
** George E. Andrews and F. G. Garvan, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 18, Number 2 (1988), 167-171
 
** George E. Andrews and F. G. Garvan, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 18, Number 2 (1988), 167-171
−
*  Some guesses in the theory of partitions<br>
+
*  Some guesses in the theory of partitions
 
** Dyson, F., Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944)
 
** Dyson, F., Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944)
  

2020년 11월 16일 (월) 06:35 판

개요

\[p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\]\[p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\]\[p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\]

  • 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
  • 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전

 

 

9의 분할의 경우

  • 9의 분할에는 30개가 있다
  • 각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다
    • 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
  • 이에 mod 5를 취하면,
    • 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
  • 0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
  • crank에 대해서도 마찬가지 분포를 얻을 수 있다

 

 

rank와 crank

  • 분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
  • 예
    • 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
    • 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
  • 분할의 crank
    • 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
    • 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
  • 예
    • 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
    • 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
  • 9의 분할수 = 30
    • 분할 {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5,   4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
    • rank {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
    • crank {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
  • 자연수의 분할(partition)과 rank 목록

 

 

crank

  • vector partition

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역


 

사전 형태의 자료


관련논문

 

 

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=분할의_rank와_crank&oldid=45207"