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| − | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math | + | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math> |
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| − | * 위치 연산자와 운동량 연산자:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>:<math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math | + | * 위치 연산자와 운동량 연산자:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>:<math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math> |
| − | * 해밀토니안:<math>\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2</math>:<math>\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)</math | + | * 해밀토니안:<math>\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2</math>:<math>\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)</math> |
| − | * 사다리 연산자(ladder operator):<math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)</math>:<math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)</math | + | * 사다리 연산자(ladder operator):<math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)</math>:<math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)</math> |
| − | * Commutation relation:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>:<math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math>:<math>\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger</math | + | * Commutation relation:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>:<math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math>:<math>\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger</math> |
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| − | * 위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}</math>:<math>V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2</math | + | * 위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}</math>:<math>V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2</math> |
* energy eigenstate의 파동함수는 <math>\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)</math> 형태로 쓸 수 있다 | * energy eigenstate의 파동함수는 <math>\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)</math> 형태로 쓸 수 있다 | ||
* http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf | * http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf | ||
* http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf | * http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf | ||
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* $E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu$라 두자 | * $E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu$라 두자 | ||
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* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
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* [[Ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]] | * [[Ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]] | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi/edit | ||
* http://demonstrations.wolfram.com/QuantizedSolutionsOfThe1DSchroedingerEquationForAHarmonicOsc/ | * http://demonstrations.wolfram.com/QuantizedSolutionsOfThe1DSchroedingerEquationForAHarmonicOsc/ | ||
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%96%91%EC%9E%90%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%9E%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/양자조화진동자] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%96%91%EC%9E%90%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%9E%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/양자조화진동자] | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator | * http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator | ||
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[[분류:양자역학]] | [[분류:양자역학]] | ||
[[분류:수리물리학]] | [[분류:수리물리학]] | ||
| + | [[분류:리군과 리대수]] | ||
2013년 4월 12일 (금) 04:26 판
개요
고전 역학에서의 조화진동자
- 고전역학에서의 조화진동자(고전역학에서의 적분가능 모형 항목 참조)
- 질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
- 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\]
- 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
- 운동방정식\[\ddot{x}=-\omega^{2} x\] 또는 \[\ddot{x}+\omega^{2} x=0\]
양자조화진동자
- 위치 연산자와 운동량 연산자\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]\[\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\]
- 해밀토니안\[\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\]\[\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\]
- 사다리 연산자(ladder operator)\[a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\]\[a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\]
- Commutation relation\[\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\]\[\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\]\[\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\]
슈뢰딩거 방정식
- 슈뢰딩거 방정식
- 위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다\[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}\]\[V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2\]
- energy eigenstate의 파동함수는 \(\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)\) 형태로 쓸 수 있다
- http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf
- http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf
- 에르미트 다항식(Hermite polynomials)
energy eigenstates
- \(\hbar=1\) 이라 가정하자
- a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
- 바닥 상태의 에너지
- lowest energy state
- \(\omega/2\)
- $E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu$라 두자
- 분배함수
$$ Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}} $$
역사
메모
- “The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi/edit
- http://demonstrations.wolfram.com/QuantizedSolutionsOfThe1DSchroedingerEquationForAHarmonicOsc/
- Math - Symbolic Science Computations with non-commuting variables