이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식

개요

• 디리클레의 class number 공식은 이차수체의 class number와 \(s=1\)에서의 \(\zeta_{K}(s)\) 의 residue 사이의 관계를 표현
• 이차 수체의 여러가지 불변량이 등장한다

 

 

데데킨트 제타함수

• 이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}\]

• \(d_K\)를 이차수체 \(K\)의 판별식
• \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 다음을 정의

\[L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\]

• $\zeta_{K}(s)$는 두 L-함수의 곱으로 표현가능

\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\]

• 일반적인 데데킨트 제타함수에 대해서는 데데킨트 제타함수 참조

 

 

복소이차수체에 대한 디리클레 class number 공식

디리클레 class number 공식

복소 이차 수체(imaginary quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\] 여기서 \(h_K\) 는 class number, \(w_K\)는 \(\mathcal{O}_K\) 의 unit group의 크기, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant)

다음과 같이 $L(1,\chi)$ 값의 표현으로 이해할 수도 있다 \[L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\]

 

따름정리

\(q \geq 2\) 는 소수라 가정하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-q\)

\[\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\]

\(\chi(-1)=-1\), 가우스 합은 \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)

디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

\[L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\] \[h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\]

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\)  , \(q \geq 5\) ,  \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-4q\)

\(\chi(-1)=-1\),  가우스 합은 \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

\[L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\] \[h_K=-\frac{1}{4}\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\]

 

 

\(n \geq 2\)가 squarefree라 하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})\)  의 경우 

\(n \geq 5\) 이고 \(n \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우, \(d_K=-4n\) \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{n}}\]

\(n \geq 7\) 이고 \(n \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우,  \(d_K=-n\) \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{\sqrt{n}}\]

 

 

증명

\(A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}\)는 \(\mathcal{O}_K\) 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자.

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)

여기서 \(a_n\) 은 norm 이 \(n\)인, 모든 ideal의 개수이다.

\(a_n(C)\) 는 ideal class \(C\) 에서, norm 이 \(n\)인 ideal의 개수로 정의하자.

증명의 아이디어

각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다

즉, \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\) 의 크기를 알아보면 된다.

• principal ideal class \(C\)
  
  • \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\)
  • \(|A_M(C)-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C \sqrt{M}\), C는 적당한 상수
• 다른 아이디얼 클래스 \(C'\)
  
  • \(A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')\)
  • \(|A_M(C')-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C' \sqrt{M}\) 임을 보일 수 있다.
• class number의 유한성에 의하여, 적당한 상수 \(C_K\)가 존재하여\[|A_M-\frac{\pi h}{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\] 가 성립한다.
  

다음과 같이 L-급수를 정의하자. \[f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}\]

위에서 얻은 부등식에 의하여, 다음부등식을 얻는다. \[|\sum_{n=1}^{M}(a_n-\frac{h\pi}{Aw})|=|A_M-\frac{h\pi }{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\]

따라서  \[f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}\] 는 \(s > \frac{1}{2}\) 에서 수렴하고, \(f(1)\) 이 존재한다.

\(s > 1\) 이면, \[f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}=\zeta_{K}(s)-\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)\] \[\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\lim_{s\to 1} (s-1)f(s)+\lim_{s\to 1} (s-1)\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)=\frac{h\pi}{Aw}\]

 

 

실 이차수체에 대한 디리클레 class number 공식

디리클레 class number 공식

실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\] \(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit

 

 

따름정리

실 이차수체 \(K\), \(d_K=q\)는 판별식

\(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)

\(L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\)

\[L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{q}\sum_{a=1,(a,q)=1}^{q-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\]

소수 \(q\)에 대하여,  \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\)

\(q \geq 5\),   \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\[2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q})\]

\(q \geq 3\),   \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\[2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})\]

로 주어진다.

 

 

증명

\(q \geq 5\),   \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우 \(d_K=q\) \[\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=L_{d_K}(1)\] 이므로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과 \[L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=1}^{q-1}(\frac{a}{q})\log(\sin \frac{a\pi}{q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{q}}\]

\(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우 \(d_K=4q\)

소수 \(p \neq 2 , q\)에 대하여 \[\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)\]

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과에 의하여

\[L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{2\sqrt{q}}\]

(증명끝)

 

 

예

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})\), \(\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\),  \(d_K=5\), \(h_K=1\) \[h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{4}(\frac{a}{5})\log(\sin \frac{a\pi}{5})=1\]

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})\), \(\epsilon_K=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\),  \(d_K=13\), \(h_K=1\) \[h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{12}(\frac{a}{13})\log(\sin \frac{a\pi}{13})=1\]

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})\), \(d_K=12\), \(\epsilon_K=2+\sqrt{3}\), \(h_K=1\)

\[-\sum_{(a,12)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{12})=-(\log\sin\frac{\pi}{12}-\log\sin\frac{5\pi}{12}-\log\sin\frac{7\pi}{12}+\log\sin\frac{11\pi}{12})= 2\ln (2+\sqrt{3})=2.6339\cdots \]

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})\) , \(d_K=28\), \(\epsilon_K=8+3\sqrt{7}\), \(h_K=1\) \[-\sum_{(a,28)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{28})=2\ln (8+3\sqrt{7})=5.53732\cdots\]

 

• class number와 unit 은 실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목을 참조

 

 

가우스합과 class number

• 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 의 class number는 다음과 같다

\[h_K=-\sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\frac{a}{p}\]

• 디리클레 L-함수 항목 참조
• 이 결과와 순환소수를 결합하면 순환소수와 class number 의 멋진 결과를 얻을 수 있다

 

 

일반화된 class number 공식

(정리) class number 공식 \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\]

 

 

역사

• 수학사 연표
• 1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명

 

 

관련된 항목들

• L-함수, 제타함수와 디리클레 급수
• 디리클레 L-함수
• 수체의 class number
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
  
  • 가우스의 class number one 문제
• 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
• 타원적분
• 라마누잔의 class invariants
• 가우스 합

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUlzMVpyOUpWZ3M/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=1/23
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • Cyclic numbers: primes with primitive root 10.

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function

관련도서

• Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)
  
  • Harold Davenport
• Advanced Number Theory
  
  • Harvey Cohn, 1980

  

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Lectures on the Dirichlet Class Number Formula for Imaginary Quadratic Fields
  
  • Tom Weston (personal webpage)
  • good introduction to the Dirichlet class number formula for quadratic imaginary fields
• Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields
  
  • Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
• [Girstmair94]A "Popular" Class Number Formula Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001
• HLS Orde, On Dirichlet's Class Number Formula, Journal of the London Mathematical Society, 1978