"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이

2013년 3월 27일 (수) 12:18 판

\[x \to x+y, y \to y\] \[x \to x, y \to x+y\]

\[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
- 예) $x^2+ny^2$ 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
- 예) $x^2+ny^2$ 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
주어진 판별식$\Delta$ 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
- $\Delta=b^2-4ac$를 만족시키는 모든 $ax^2+bxy+cy^2$ 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
- 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다
- 판별식이 $\Delta$인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 $h(\Delta)$를 $\Delta$에 대한 class number 라 함
- genus의 개념

주어진 이차형식이 있을때,
모듈라 군의 작용에 의한 복소상반평면의 fundamental domain은 다음과 같다\[R = \left\{ \tau \in \mathbb{H}: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\] + 경계조건
기약 형식
- 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
- $|b|\leq a \leq c$ and $b \geq 0$ if either $|b|=a $ or $a=c$
$ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)$, $\mbox{Im}\, \tau >0$ 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다\[|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\]\[a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\] fundamental domain의 경계조건은 $b \geq 0$ if either $|b|=a $ or $a=c$ 로 옮겨짐

(정리)

$\tau$ ($\mbox{Im}\, \tau >0$) 에 대응되는 이차형식은 $x=aX+bY, y=cX+dY$ (여기서 $a,b,c,d$는 정수이고 $ad-bc= 1$)에 의해 $\frac{a\tau+b}{c\tau+d}$ 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.

자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조
$\Delta=b^2-4ac=-3$
- $x^2+xy+y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-4$
- $x^2+y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-8$
- $x^2+2y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-15$
- $x^2+xy+4y^2$, $2x^2+xy+2y^2$
- $h(\Delta)=2$ 이 되는 첫번째 예
$\Delta=b^2-4ac=-20$
- $x^2+5y^2$, $2x^2+2xy+3y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-23$
- $x^2+xy+6y^2$, $2x^2-xy+3y^2$, $2x^2+xy+3y^2$
- $h(\Delta)=3$ 이 되는 첫번째 예
$\Delta=b^2-4ac=-40$
- $x^2+10y^2$, $2x^2+5y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-163$
- $x^2+xy+41y^2$
- $h(\Delta)=1$ 이 되는 가장 큰 예
- 오일러의 소수생성다항식 x²+x+41 , 숫자 163 참조
$\Delta=b^2-4ac=-240$
- $x^2+58y^2$, $2x^2+29y^2$
- 58에 대해서는 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 항목 참조
더 자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조

기본판별식(fundamental discriminant)
- $\Delta=\Delta_0f^2$ 의 형태로 쓸 수 없는 $\Delta$ ($\Delta_0$는 적당한 판별식, $f$는 1보다 큰 정수)
- 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
가우스의 문제
- 기본판별식 $\Delta<0$ 에 대하여 $h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163$
일반적으로는 다음과 같음
- $h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163$
가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸

판별식이 $\Delta$인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 $(\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}$의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다

이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음
- 이차형식의 합성이란 $(x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2$와 같은 공식의 일반화
$ax^2+bxy+cy^2$가 양의정부호 즉 $a>0$, $\Delta=b^2-4ac<0$ 를 만족할 때, 대응되는 ideal은 $[2a, -b+\sqrt\Delta]$로 주어짐

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 ** Franz Lemmermeyer, ArXiv, 16 Jul 2002
 * [http://dx.doi.org/10.1006/hmat.1995.1018 On euler's partition of forms into genera]A.A. Antropov
-* <math>\Delta=b^2-4ac</math>, [[1943100/attachments/871280|Introduction to integral binary quadratic forms]]
+* J.P. Serre <math>\Delta=b^2-4ac</math>, Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
-** J.P. Serre, Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
+** [[파일:1943100-serre on class number.pdf]]
 * [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183552617 Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields]
 ** Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37