"숫자 12와 24"의 두 판 사이의 차이

2013년 7월 6일 (토) 03:29 판

모든 자연수의 합과 리만제타함수\[\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\]\[\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\]
12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight\[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\]
는 weight 12 cusp form
판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
\(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
오비폴드 오일러 표수\[\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}\]
라마누잔과 1729\[1729=12^3+1^3=10^3+9^3\]

스털링 공식\[ n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\]

아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)\[E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\]
리치(Leech)격자의 차원
돌발성 단순군 M24
If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
[[\[Zeta](2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\]
분할수의 생성함수(오일러 함수)\[z=q\],\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)\[\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\]\[\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\]
26=24+2는 보존 끈이론의 차원
- 24는 transverse dimensions
- http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595# post2910595

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 ==메모==
+* icosikaitetetrology
 * http://mathoverflow.net/questions/44866/third-stable-homotopy-group-of-spheres-via-geometry