"공변미분(covariant derivative)"의 두 판 사이의 차이

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==차트를 이용한 국소적 표현==
 
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* <math>X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>, <math>Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math><br>
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* <math>X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>, <math>Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>
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* [[접속 (connection)]]:<math>\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}</math><br>
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* [[접속 (connection)]]:<math>\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}</math>
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*  다양체 M의 coordinate chart 에서 <math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))</math> 로 표현되는 곡선에 대한, 벡터장 <math>Y</math> 의 공변미분:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math><br>
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*  다양체 M의 coordinate chart 에서 <math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))</math> 로 표현되는 곡선에 대한, 벡터장 <math>Y</math> 의 공변미분:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>
  
 
 
 
 
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==평행이동==
 
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* 곡선 $\gamma$의 매개화가 <math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))</math>로 주어진다고 하자
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* 곡선 <math>\gamma</math>의 매개화가 <math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))</math>로 주어진다고 하자
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* $\gamma$ 에 대한 벡터장 <math>Y</math> 의 공변미분이 0일 때, 즉:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0</math>
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* <math>\gamma</math> 에 대한 벡터장 <math>Y</math> 의 공변미분이 0일 때, 즉:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0</math>
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$Y$는 $\gamma$를 따라 평행하다고 정의함
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<math>Y</math>는 <math>\gamma</math>를 따라 평행하다고 정의함
 
 
 
 
  
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==측지선==
 
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* <math>Y=\alpha'(t)</math> 로 주어지는 경우,:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>:<math>\frac{DY}{dt}= 0</math> 을 만족하는 경우, 곡선<math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)</math>를 [[측지선]] 이라 한다<br>
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* <math>Y=\alpha'(t)</math> 로 주어지는 경우,:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>:<math>\frac{DY}{dt}= 0</math> 을 만족하는 경우, 곡선<math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)</math>를 [[측지선]] 이라 한다
  
 
 
 
 

2020년 11월 16일 (월) 03:56 판

개요

 

 

 

차트를 이용한 국소적 표현

  • \(X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\), \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)
  • 접속 (connection)\[\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}\]
  • 다양체 M의 coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))\) 로 표현되는 곡선에 대한, 벡터장 \(Y\) 의 공변미분\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}\]

 

 

 

평행이동

  • 곡선 \(\gamma\)의 매개화가 \(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))\)로 주어진다고 하자
  • \(\gamma\) 에 대한 벡터장 \(Y\) 의 공변미분이 0일 때, 즉\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0\]

\(Y\)는 \(\gamma\)를 따라 평행하다고 정의함  

 

측지선

  • \(Y=\alpha'(t)\) 로 주어지는 경우,\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}\]\[\frac{DY}{dt}= 0\] 을 만족하는 경우, 곡선\(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)\)를 측지선 이라 한다

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 


 

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