"바일 차원 공식(Weyl dimension formula)"의 두 판 사이의 차이
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* highest weigh이 <math>\lambda</math>로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다:<math>\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math> 여기서 <math>(\cdot | \cdot)</math> 는 <math>\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}</math>에 정의되는 Killing form, <math>\rho</math> 는 바일 벡터, <math>\alpha>0</math>는 positive root 를 뜻함<br> | * highest weigh이 <math>\lambda</math>로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다:<math>\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math> 여기서 <math>(\cdot | \cdot)</math> 는 <math>\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}</math>에 정의되는 Killing form, <math>\rho</math> 는 바일 벡터, <math>\alpha>0</math>는 positive root 를 뜻함<br> | ||
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| − | ==<math>A_2</math>의 fundamental representations== | + | ==예-<math>A_2</math>의 fundamental representations== |
* <math>A_2</math>의 root system을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다<br> | * <math>A_2</math>의 root system을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다<br> | ||
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| − | + | ==증명== | |
| + | * $A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]$로 두자 | ||
| + | * $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$ 에 대하여, $A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)$이 성립한다. 이는 바일 denominator 항등식에서 알 수 있다 | ||
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| + | {\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2}) | ||
| + | $$ | ||
| + | * 임의의 $\mu\in P$에 대하여, 다음이 성립한다 | ||
| + | \begin{equation}\label{6:Wdenom2} | ||
| + | A_{\mu}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=A_{\rho}\left(\frac{\mu}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\mu|\alpha)}{h+k} | ||
| + | \end{equation} | ||
| + | * (\ref{6:Wdenom2})로부터 $\lambda\in P^{+}$에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다 | ||
| + | $$A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h+k}$$ | ||
| + | $$A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}.$$ | ||
| + | * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]]로부터 다음을 얻는다 | ||
| + | $$\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h+k}}.$$ | ||
| + | * $k\to \infty$일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다 | ||
| + | $$\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}$$ | ||
2013년 7월 5일 (금) 04:24 판
개요
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 로부터 유도됨
- highest weigh이 \(\lambda\)로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다\[\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\] 여기서 \((\cdot | \cdot)\) 는 \(\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}\)에 정의되는 Killing form, \(\rho\) 는 바일 벡터, \(\alpha>0\)는 positive root 를 뜻함
예-\(A_2\)의 fundamental representations
- \(A_2\)의 root system을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
- \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
- \(\alpha_3=(1,0,-1)\)
- \(\rho=(1,0,-1)\)
- \(\omega_1=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})\)
- \(\omega_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)
- \(V_{\omega_1}\) 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다\[\dim(V_{\omega_1}) = \frac{2\cdot 1\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3\]
- \(V_{\omega_2}\) 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다\[\dim(V_{\omega_2}) = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3\]
증명
- $A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]$로 두자
- $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$ 에 대하여, $A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)$이 성립한다. 이는 바일 denominator 항등식에서 알 수 있다
$$ {\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2}) $$
- 임의의 $\mu\in P$에 대하여, 다음이 성립한다
\begin{equation}\label{6:Wdenom2} A_{\mu}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=A_{\rho}\left(\frac{\mu}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\mu|\alpha)}{h+k} \end{equation}
- (\ref{6:Wdenom2})로부터 $\lambda\in P^{+}$에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다
$$A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h+k}$$ $$A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}.$$
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula)로부터 다음을 얻는다
$$\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h+k}}.$$
- $k\to \infty$일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다
$$\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}$$
역사
메모
- quantum dimension\[\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h+k}}\]
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스