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2011년 6월 30일 (목) 06:52 판

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개요
  • 적분의 q-analogue
  • 잭슨적분이라 불르기도 한다

 

 

정의
  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
    \(\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
    \(\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
  • \(q\to 1\) 이면, \(\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \)

 

 

 

페르마의 결과
  • 위의 방법으로 페르마는 다음 적분을 기하급수 문제로 변형하여 해결함
    \(\int_0^a x^n\,dx\)

 

\(\int_0^a x^n d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k a^nq^{nk}=a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k a^nq^{nk}=\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}\)

\(\lim_{q\to 1}\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}=\frac{a^{n+1}}{n+1}\)

 

 

 

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