"Q-지수함수"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 20일 (화) 19:17 판

지수함수 의 q-analogue
지수함수의 멱급수 표현 \[e^{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\]
q-팩토리얼 은 다음과 같이 주어진다 \[[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}\]
q-analogue 를 얻는다

\[e_q(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!}\]

또다른 q-analogue \[E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-zq^n}\] \[e_q(z) = E_q(z(1-q))\]
본질적으로는 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm) 이다

$e_{q}(z(1-q))=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{[n]_q!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(q)_n}$

q-이항정리
$\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n$
$\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n$

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 * [[지수함수]] 의 q-analogue<br>
-*  지수함수의 멱급수 표현<br><math>e^{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}</math><br>
+*  지수함수의 멱급수 표현 :<math>e^{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}</math><br>
-* [[q-팩토리얼]] 은 다음과 같이 주어진다<br><math>[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}</math><br>
+* [[q-팩토리얼]] 은 다음과 같이 주어진다 :<math>[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}</math><br>
-*  q-analogue 를 얻는다<br><math>e_q(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!}</math><br>
+*  q-analogue 를 얻는다
-*  또다른 q-analogue<br><math>E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-zq^n}</math><br><math>e_q(z) = E_q(z(1-q))</math><br>
+:<math>e_q(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!}</math><br>
-*  본질적으로는 [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]] 이다<br>
+*  또다른 q-analogue :<math>E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-zq^n}</math> :<math>e_q(z) = E_q(z(1-q))</math><br>
+*  본질적으로는 [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]] 이다
+==q-지수함수와 무한곱==
+* $e_{q}(z(1-q))=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{[n]_q!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(q)_n}$
 ==오일러곱==