스털링 수

개요

• \(s(n,k)\) 제1종 스털링 수

\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]

• \(S(n,k)\) 제2종 스털링 수

\[x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j\]

 

제1종 스털링 수

• 정의

\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]

• 예

\[(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3\] $$s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1$$

• 점화식

$$ s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) $$  

 

제2종 스털링 수

• n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 \(S(n,k)\)
• 제2종 스털링 수

\[x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j\]

• 예

\[x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)\] $$S(3,0)=0, S(3,1)=1,S(3,2)=3,s(3,3)=1$$

• 점화식

$$ S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) $$

• 생성함수

\[\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}\]

• 지수생성함수

\[\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}\]  

벨 수열 (Bell number)과의 관계

• http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number
• \(B(n)=\sum_{k}S(n,k)\)
• 집합 $\{1,2,\cdots,n\}$ 의 분할의 개수

\[\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.\]

 

메모

• Zhao, Wei, Jianrong Zhao, and Shaofang Hong. “The 2-Adic Valuations of Differences of Stirling Numbers of the Second Kind.” arXiv:1407.8443 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8443.

 

관련된 항목들

• 차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRVJuQTh1QnZKMnc/edit

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number