"조화다항식(harmonic polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2014년 1월 13일 (월) 09:03 판

개요

$P^{(d)}$ : 차수가 $d$인 $n$변수 동차다항식(Homogeneous polynomial)이 이루는 $\mathbb{C}[x_1,\cdots, x_n]$의 부분공간
라플라시안(Laplacian) $\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}$를 다음과 같이 정의

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]

$\ker \Delta =\mathcal{H}^{(d)}$의 원소를 $l$차 조화다항식이라 한다
차원

$$ \dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2} $$

$n=3$일 때, 조화다항식의 정의역을 단위구면 $S^2$에 제한하여, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다

예

아래에서는 세 변수의 경우, 즉 $n=3$인 경우

2차 조화다항식

\[\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\]

3차 조화다항식

\[\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\]

조화다항식과 구면조화함수

$\mathbb{C}[x,y,z]$의 원소인 조화다항식을 단위구면 $S^2\subset \mathbb{R}^3$에서 정의된 함수로 볼 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다

예

2차인 조화함수 $-x^2+2 i x y+y^2$
단위구면 (구면좌표계 참조) $x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )$
다음을 얻는다

$$ -x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) $$

이는 $Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)$ 의 상수배이다

역사

메모

http://mathoverflow.net/questions/78660/basis-for-the-space-of-harmonic-homogeneous-polynomial-in-n-variables

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50

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 ==개요==
+* <math>P^{(d)}</math> : 차수가 $d$인 $n$변수 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 $\mathbb{C}[x_1,\cdots, x_n]$의 부분공간
+* [[라플라시안(Laplacian)]] <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의
+:<math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math>
+* <math>\ker \Delta =\mathcal{H}^{(d)}</math>의 원소를 $l$차 조화다항식이라 한다
+* 차원
+$$
+\dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2}
+$$
+* $n=3$일 때, 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한하여, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
-* 아래에서는 세 변수의 경우를 다룸
-* <math>P^{(l)}</math> : $\mathbb{R}^3$에서 차수가 l인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)|동차다항식]]이 이루는 벡터공간
-* [[라플라시안(Laplacian)]] <math>\Delta : P^{(l)} \to P^{(l-2)}</math>를 다음과 같이 정의
-:<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
-* <math>\ker \Delta = H^{(l)}</math>의 원소를 $\mathbb{R}^3$의 $l$차 조화다항식이라 한다
-* 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한할 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
 ==예==
+* 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 $n=3$인 경우
 ===2차 조화다항식===
 :<math>\begin{array}{l}  x^2-y^2 \\  x y \\  x z \\  y z \\  y^2-z^2 \end{array}</math>
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 :<math>\begin{array}{l}  -3 x^2 z+z^3 \\  -x^2 y+y z^2 \\  -x^3+3 x z^2 \\  -x^2 z+y^2 z \\  x y z \\  -3 x^2 y+y^3 \\  -x^3+3 x y^2 \end{array}</math>
 ==조화다항식과 구면조화함수==
+* $\mathbb{C}[x,y,z]$의 원소인 조화다항식을 단위구면 $S^2\subset \mathbb{R}^3$에서 정의된 함수로 볼 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
-*  조화다항식을 단위구면에서 정의된 함수로 볼 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다<br>
+===예===
-*  예<br>
+*  2차인 조화함수 <math>-x^2+2 i x y+y^2</math>
-**  2차인 조화함수 <math>-x^2+2 i x y+y^2</math><br>
+*  단위구면 ([[구면좌표계]] 참조) <math>x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )</math>
-**  단위구면 ([[구면좌표계]] 참조) <math>x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )</math><br>
+* 다음을 얻는다
-** <math>\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )</math>는 <math>Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)</math> 의 상수배이다<br>
+$$
+-x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )
+$$
+* 이는 <math>Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)</math> 의 상수배이다
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 ==메모==
+* http://mathoverflow.net/questions/78660/basis-for-the-space-of-harmonic-homogeneous-polynomial-in-n-variables
-* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50