초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)

개요

• 대칭다항식의 하나
• $n$개의 변수 $x_1, x_2, \dots, x_n$에 대하여 다음과 같은 $k$-차 다항식 $e_k$를 초등 대칭 다항식이라 한다 $1\leq k \leq n$

\[e_k(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k} \label{ele}\]

• 근과 계수와의 관계에 등장한다

$$ \begin{cases} e_1(x_1,\cdots,x_n)= x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n\\ e_2(x_1,\cdots,x_n)=(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n\\ {} \quad \vdots \\ e_n(x_1,\cdots,x_n)=x_1 x_2 \dots x_n \end{cases} $$

메모

• 유한군 $G$의 $n$차원 표현 $V$이 주어졌을 때, $\Lambda^k(V)$의 지표를 $V$의 지표를 이용하여 계산하려면 초등 대칭 다항식이 필요하다

관련된 항목들

• 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식
• 근과 계수와의 관계
• 외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUzBPS0E0c3p0SVk/edit